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Popular Trigonometria >

sin^2(15)+sin^2(75)

Solução

sin^{2} (1 5^{\circ}) + sin^{2} (7 5^{\circ})

Solução

1

Passos da solução

sin^{2} (1 5^{\circ}) + sin^{2} (7 5^{\circ})

Reeecreva usando identidades trigonométricas:

sin^{2} (1 5^{\circ}) = \frac{1 - cos ( 3 0 ^{\circ} )}{2}

sin^{2} (1 5^{\circ})

Usar a seguinte identidade:

sin^{2} (θ) = \frac{1 - cos ( 2 θ )}{2}

Utilizar a identidade trigonométrica do arco duplo

cos (2 θ) = 1 - 2 sin^{2} (θ)

Trocar lados

2 sin^{2} (θ) - 1 = - cos (2 θ)

Adicionar

1

a ambos os lados

2 sin^{2} (θ) = 1 - cos (2 θ)

Dividir ambos os lados por

2

sin^{2} (θ) = \frac{1 - cos ( 2 θ )}{2}

= \frac{1 - cos ( 2 \cdot 1 5 ^{\circ} )}{2}

Simplificar

= \frac{1 - cos ( 3 0 ^{\circ} )}{2}

= \frac{1 - cos ( 3 0 ^{\circ} )}{2} + sin^{2} (7 5^{\circ})

Simplificar

= \frac{1 - cos ( 3 0 ^{\circ} ) + 2 sin ^{2} ( 7 5 ^{\circ} )}{2}

Utilizar a seguinte identidade trivial:

cos (3 0^{\circ}) = \frac{3}{2}

cos (3 0^{\circ})

cos (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

36 0^{\circ} n

x 0 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ} 12 0^{\circ} 13 5^{\circ} 15 0^{\circ} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x 18 0^{\circ} 21 0^{\circ} 22 5^{\circ} 24 0^{\circ} 27 0^{\circ} 30 0^{\circ} 31 5^{\circ} 33 0^{\circ} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= \frac{3}{2}

Reeecreva usando identidades trigonométricas:

sin (7 5^{\circ}) = \frac{6 + 2}{4}

sin (7 5^{\circ})

Reeecreva usando identidades trigonométricas:

sin (4 5^{\circ}) cos (3 0^{\circ}) + cos (4 5^{\circ}) sin (3 0^{\circ})

sin (7 5^{\circ})

Escrever

sin (7 5^{\circ})

como

sin (4 5^{\circ} + 3 0^{\circ})

= sin (4 5^{\circ} + 3 0^{\circ})

Use a identidade de soma de ângulos:

sin (s + t) = sin (s) cos (t) + cos (s) sin (t)

= sin (4 5^{\circ}) cos (3 0^{\circ}) + cos (4 5^{\circ}) sin (3 0^{\circ})

= sin (4 5^{\circ}) cos (3 0^{\circ}) + cos (4 5^{\circ}) sin (3 0^{\circ})

Utilizar a seguinte identidade trivial:

sin (4 5^{\circ}) = \frac{2}{2}

sin (4 5^{\circ})

sin (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

36 0^{\circ} n

x 0 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ} 12 0^{\circ} 13 5^{\circ} 15 0^{\circ} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x 18 0^{\circ} 21 0^{\circ} 22 5^{\circ} 24 0^{\circ} 27 0^{\circ} 30 0^{\circ} 31 5^{\circ} 33 0^{\circ} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

= \frac{2}{2}

Utilizar a seguinte identidade trivial:

cos (3 0^{\circ}) = \frac{3}{2}

cos (3 0^{\circ})

cos (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

36 0^{\circ} n

x 0 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ} 12 0^{\circ} 13 5^{\circ} 15 0^{\circ} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x 18 0^{\circ} 21 0^{\circ} 22 5^{\circ} 24 0^{\circ} 27 0^{\circ} 30 0^{\circ} 31 5^{\circ} 33 0^{\circ} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= \frac{3}{2}

Utilizar a seguinte identidade trivial:

cos (4 5^{\circ}) = \frac{2}{2}

cos (4 5^{\circ})

cos (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

36 0^{\circ} n

x 0 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ} 12 0^{\circ} 13 5^{\circ} 15 0^{\circ} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x 18 0^{\circ} 21 0^{\circ} 22 5^{\circ} 24 0^{\circ} 27 0^{\circ} 30 0^{\circ} 31 5^{\circ} 33 0^{\circ} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= \frac{2}{2}

Utilizar a seguinte identidade trivial:

sin (3 0^{\circ}) = \frac{1}{2}

sin (3 0^{\circ})

sin (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

36 0^{\circ} n

x 0 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ} 12 0^{\circ} 13 5^{\circ} 15 0^{\circ} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x 18 0^{\circ} 21 0^{\circ} 22 5^{\circ} 24 0^{\circ} 27 0^{\circ} 30 0^{\circ} 31 5^{\circ} 33 0^{\circ} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

= \frac{1}{2}

= \frac{2}{2} \cdot \frac{3}{2} + \frac{2}{2} \cdot \frac{1}{2}

Simplificar

\frac{2}{2} \cdot \frac{3}{2} + \frac{2}{2} \cdot \frac{1}{2} : \frac{6 + 2}{4}

\frac{2}{2} \cdot \frac{3}{2} + \frac{2}{2} \cdot \frac{1}{2}

\frac{2}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{6}{4}

\frac{2}{2} \cdot \frac{3}{2}

Multiplicar frações:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{2 3}{2 \cdot 2}

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{2 3}{4}

Simplificar

23 : 6

23

Aplicar as propriedades dos radicais:

a b = a \cdot b

23 = 2 \cdot 3

= 2 \cdot 3

Multiplicar os números:

2 \cdot 3 = 6

= 6

= \frac{6}{4}

\frac{2}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{4}

\frac{2}{2} \cdot \frac{1}{2}

Multiplicar frações:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}

Multiplicar:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{2}{2 \cdot 2}

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{2}{4}

= \frac{6}{4} + \frac{2}{4}

Aplicar a regra

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{6 + 2}{4}

= \frac{6 + 2}{4}

= \frac{1 - \frac{3}{2} + 2 ( \frac{6 + 2}{4} ) ^{2}}{2}

Simplificar

\frac{1 - \frac{3}{2} + 2 ( \frac{6 + 2}{4} ) ^{2}}{2} : 1

\frac{1 - \frac{3}{2} + 2 ( \frac{6 + 2}{4} ) ^{2}}{2}

2 (\frac{6 + 2}{4})^{2} = \frac{2 + 3}{2}

2 (\frac{6 + 2}{4})^{2}

(\frac{6 + 2}{4})^{2} = \frac{2 + 3}{4}

(\frac{6 + 2}{4})^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{( 6 + 2 ) ^{2}}{4 ^{2}}

(6 + 2)^{2} = 8 + 43

(6 + 2)^{2}

Aplique a fórmula do quadrado perfeito:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = 6, b = 2

= (6)^{2} + 262 + (2)^{2}

Simplificar

(6)^{2} + 262 + (2)^{2} : 8 + 43

(6)^{2} + 262 + (2)^{2}

(6)^{2} = 6

(6)^{2}

Aplicar as propriedades dos radicais:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (6^{\frac{1}{2}})^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Eliminar o fator comum:

2

= 1

= 6

262 = 43

262

Fatorar o inteiro

6 = 2 \cdot 3

= 2 2 \cdot 3 2

Aplicar as propriedades dos radicais:

n ab = n a n b

2 \cdot 3 = 23

= 2232

Aplicar as propriedades dos radicais:

a a = a

22 = 2

= 2 \cdot 23

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 = 4

= 43

(2)^{2} = 2

(2)^{2}

Aplicar as propriedades dos radicais:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (2^{\frac{1}{2}})^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Eliminar o fator comum:

2

= 1

= 2

= 6 + 43 + 2

Somar:

6 + 2 = 8

= 8 + 43

= 8 + 43

= \frac{8 + 4 3}{4 ^{2}}

Fatorar

8 + 43 : 4 (2 + 3)

8 + 43

Reescrever como

= 4 \cdot 2 + 43

Fatorar o termo comum

4

= 4 (2 + 3)

= \frac{4 ( 2 + 3 )}{4 ^{2}}

Eliminar o fator comum:

4

= \frac{2 + 3}{4}

= 2 \cdot \frac{2 + 3}{4}

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( 2 + 3 ) \cdot 2}{4}

Eliminar o fator comum:

2

= \frac{2 + 3}{2}

= \frac{1 - \frac{3}{2} + \frac{2 + 3}{2}}{2}

Combinar as frações usando o mínimo múltiplo comum:

1

Aplicar a regra

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 3 + 2 + 3}{2}

Somar elementos similares:

- 3 + 3 = 0

= \frac{2}{2}

Aplicar a regra

\frac{a}{a} = 1

= 1

= \frac{1 + 1}{2}

Somar:

1 + 1 = 2

= \frac{2}{2}

Aplicar a regra

\frac{a}{a} = 1

= 1

= 1

Exemplos populares

sqrt(2)cos(45)

2 cos (4 5^{\circ})

sin((7pi)/(11))

sin (\frac{7 π}{11})

3cos(45)tan(60)-cos(15)

3 cos (4 5^{\circ}) tan (6 0^{\circ}) - cos (1 5^{\circ})

2*(cos(45))^2

2 \cdot (cos (4 5^{\circ}))^{2}

sin(arctan(3/8))

sin (arctan (\frac{3}{8}))