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Popolare Trigonometria >

dimostrare tan(θ)+cot(θ)=sec(θ)csc(θ)

Soluzione

dimostrare

tan (θ) + cot (θ) = sec (θ) csc (θ)

Soluzione

Vero

Fasi della soluzione

tan (θ) + cot (θ) = sec (θ) csc (θ)

Manipolando il lato sinistro

tan (θ) + cot (θ)

Esprimere con sen e cos

cot (θ) + tan (θ)

Usare l'identità trigonometrica di base:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + tan (θ)

Usare l'identità trigonometrica di base:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Semplifica

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} : \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Minimo Comune Multiplo di

sin (θ), cos (θ) : sin (θ) cos (θ)

sin (θ), cos (θ)

Minimo comune multiplo (mcm)

Calcolo di un'espressione composta da fattori che compaiono in

sin (θ)

cos (θ)

= sin (θ) cos (θ)

Adeguare le frazioni in base al minimo comune multiplo (mcm)

Moltiplicare ogni numeratore per la stessa quantità necessaria a moltiplicare il suo

corrispondente denominatore per trasformarlo in mcm

sin (θ) cos (θ)

Per

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

cos (θ)

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} = \frac{cos ( θ ) cos ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )} = \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

Per

\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

sin (θ)

\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} = \frac{sin ( θ ) sin ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )} = \frac{sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

= \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )} + \frac{sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

= \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

= \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )}

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

\frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )}

Usa l'identità pitagorica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= \frac{1}{cos ( θ ) sin ( θ )}

= \frac{1}{cos ( θ ) sin ( θ )}

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

Usare l'identità trigonometrica di base:

sin (x) = \frac{1}{csc ( x )}

\frac{1}{cos ( θ ) \frac{1}{c s c ( θ )}}

Usare l'identità trigonometrica di base:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

\frac{1}{\frac{1}{s e c ( θ )} \cdot \frac{1}{c s c ( θ )}}

Semplificare

\frac{1}{\frac{1}{s e c ( θ )} \cdot \frac{1}{c s c ( θ )}}

Moltiplicare

\frac{1}{sec ( θ )} \cdot \frac{1}{csc ( θ )} : \frac{1}{sec ( θ ) csc ( θ )}

\frac{1}{sec ( θ )} \cdot \frac{1}{csc ( θ )}

Moltiplica le frazioni:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{1 \cdot 1}{sec ( θ ) csc ( θ )}

Moltiplica i numeri:

1 \cdot 1 = 1

= \frac{1}{sec ( θ ) csc ( θ )}

= \frac{1}{\frac{1}{s e c ( θ ) c s c ( θ )}}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{sec ( θ ) csc ( θ )}{1}

Applicare la regola

\frac{a}{1} = a

= sec (θ) csc (θ)

sec (θ) csc (θ)

sec (θ) csc (θ)

Abbiamo mostrato che i due lati possono prendere la stessa forma

\Rightarrow Vero

Esempi popolari

sin(2x)=-(sqrt(3))/2

sin (2 x) = - \frac{3}{2}

sin(2x)= 1/2

sin (2 x) = \frac{1}{2}

arctan(4)

arctan (4)

cos(pi/3)

cos (\frac{π}{3})

sinh(1)

sinh (1)