English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

شائع علم المثلثات >

3sin(x)-4sin^3(x)=1-2sin^2(x)

الحلّ

3 sin (x) - 4 sin^{3} (x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

الحلّ

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = 0.31415 \dots + 2 πn, x = π - 0.31415 \dots + 2 πn, x = - 0.94247 \dots + 2 πn, x = π + 0.94247 \dots + 2 πn

درجات

x = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 1 8^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 16 2^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 5 4^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 23 4^{\circ} + 36 0^{\circ} n

خطوات الحلّ

3 sin (x) - 4 sin^{3} (x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

بالاستعانة بطريقة التعويض

3 sin (x) - 4 sin^{3} (x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

sin (x) = u :

على افتراض أنّ

3 u - 4 u^{3} = 1 - 2 u^{2}

3 u - 4 u^{3} = 1 - 2 u^{2} : u = 1, u = \frac{- 1 + 5}{4}, u = - \frac{1 + 5}{4}

3 u - 4 u^{3} = 1 - 2 u^{2}

انقل

2 u^{2}

إلى الجانب الأيسر

3 u - 4 u^{3} = 1 - 2 u^{2}

للطرفين

2 u^{2}

أضف

3 u - 4 u^{3} + 2 u^{2} = 1 - 2 u^{2} + 2 u^{2}

بسّط

3 u - 4 u^{3} + 2 u^{2} = 1

3 u - 4 u^{3} + 2 u^{2} = 1

انقل

1

إلى الجانب الأيسر

3 u - 4 u^{3} + 2 u^{2} = 1

من الطرفين

1

اطرح

3 u - 4 u^{3} + 2 u^{2} - 1 = 1 - 1

بسّط

3 u - 4 u^{3} + 2 u^{2} - 1 = 0

3 u - 4 u^{3} + 2 u^{2} - 1 = 0

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

اكتب بالصورة الاعتياديّة

- 4 u^{3} + 2 u^{2} + 3 u - 1 = 0

- 4 u^{3} + 2 u^{2} + 3 u - 1

حلّل إلى عوامل:

- (u - 1) (4 u^{2} + 2 u - 1)

- 4 u^{3} + 2 u^{2} + 3 u - 1

- 1

قم باخراج العامل المشترك

= - (4 u^{3} - 2 u^{2} - 3 u + 1)

4 u^{3} - 2 u^{2} - 3 u + 1

حلل إلى عوامل:

(u - 1) (4 u^{2} + 2 u - 1)

4 u^{3} - 2 u^{2} - 3 u + 1

استعمل نظريّة الجذر الكسريّ

u - 1

هو جذر للتعبير، إذًا فلتخرج

\pm \frac{1}{1 , 2 , 4}

\frac{1}{1}

لذلك، افحص الأعداد الكسريّة التالية

a_{n} : 1, 2, 4

القواسم لـ

a_{0} : 1,

القواسم لـ

a_{0} = 1, a_{n} = 4

= (u - 1) \frac{4 u ^{3} - 2 u ^{2} - 3 u + 1}{u - 1}

\frac{4 u ^{3} - 2 u ^{2} - 3 u + 1}{u - 1} = 4 u^{2} + 2 u - 1

\frac{4 u ^{3} - 2 u ^{2} - 3 u + 1}{u - 1}

\frac{4 u ^{3} - 2 u ^{2} - 3 u + 1}{u - 1}

اقسم:

\frac{4 u ^{3} - 2 u ^{2} - 3 u + 1}{u - 1} = 4 u^{2} + \frac{2 u ^{2} - 3 u + 1}{u - 1}

4 u^{3} - 2 u^{2} - 3 u + 1

اقسم المعامل الرئيس للبسط

\frac{4 u ^{3}}{u} = 4 u^{2} : u - 1

والمقام

Quotient = 4 u^{2}

4 u^{3} - 4 u^{2} : 4 u^{2}

بـ

u - 1

اضرب للحصول على باقٍ جديد

4 u^{3} - 2 u^{2} - 3 u + 1

من

4 u^{3} - 4 u^{2}

اطرح

باقي = 2 u^{2} - 3 u + 1

لذلك

\frac{4 u ^{3} - 2 u ^{2} - 3 u + 1}{u - 1} = 4 u^{2} + \frac{2 u ^{2} - 3 u + 1}{u - 1}

= 4 u^{2} + \frac{2 u ^{2} - 3 u + 1}{u - 1}

\frac{2 u ^{2} - 3 u + 1}{u - 1}

اقسم:

\frac{2 u ^{2} - 3 u + 1}{u - 1} = 2 u + \frac{- u + 1}{u - 1}

2 u^{2} - 3 u + 1

اقسم المعامل الرئيس للبسط

\frac{2 u ^{2}}{u} = 2 u : u - 1

والمقام

Quotient = 2 u

2 u^{2} - 2 u : 2 u

بـ

u - 1

اضرب للحصول على باقٍ جديد

2 u^{2} - 3 u + 1

من

2 u^{2} - 2 u

اطرح

باقي = - u + 1

لذلك

\frac{2 u ^{2} - 3 u + 1}{u - 1} = 2 u + \frac{- u + 1}{u - 1}

= 4 u^{2} + 2 u + \frac{- u + 1}{u - 1}

\frac{- u + 1}{u - 1}

اقسم:

\frac{- u + 1}{u - 1} = - 1

- u + 1

اقسم المعامل الرئيس للبسط

\frac{- u}{u} = - 1 : u - 1

والمقام

Quotient = - 1

- u + 1 : - 1

بـ

u - 1

اضرب للحصول على باقٍ جديد

- u + 1

من

- u + 1

اطرح

باقي = 0

لذلك

\frac{- u + 1}{u - 1} = - 1

= 4 u^{2} + 2 u - 1

= 4 u^{2} + 2 u - 1

= (u - 1) (4 u^{2} + 2 u - 1)

= - (u - 1) (4 u^{2} + 2 u - 1)

- (u - 1) (4 u^{2} + 2 u - 1) = 0

حلّ عن طريق مساواة العوامل لصفر

u - 1 = 0 or 4 u^{2} + 2 u - 1 = 0

u - 1 = 0

حلّ:

u = 1

u - 1 = 0

انقل

1

إلى الجانب الأيمن

u - 1 = 0

للطرفين

1

أضف

u - 1 + 1 = 0 + 1

بسّط

u = 1

u = 1

4 u^{2} + 2 u - 1 = 0

حلّ:

u = \frac{- 1 + 5}{4}, u = - \frac{1 + 5}{4}

4 u^{2} + 2 u - 1 = 0

حلّ بالاستعانة بالصيغة التربيعيّة

4 u^{2} + 2 u - 1 = 0

الصيغة لحلّ المعادلة التربيعيّة

a = 4, b = 2, c = - 1

لـ

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 1 )}{2 \cdot 4}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 1 )}{2 \cdot 4}

2^{2} - 4 \cdot 4 (- 1) = 25

2^{2} - 4 \cdot 4 (- 1)

- (- a) = a

فعّل القانون

= 2^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 1

4 \cdot 4 \cdot 1 = 16 :

اضرب الأعداد

= 2^{2} + 16

2^{2} = 4

= 4 + 16

4 + 16 = 20 :

اجمع الأعداد

= 20

20

تحليل لعوامل أوّليّة لـ:

2^{2} \cdot 5

20

20 = 10 \cdot 2, 2

ينقسم على

20

= 2 \cdot 10

10 = 5 \cdot 2, 2

ينقسم على

10

= 2 \cdot 2 \cdot 5

مركّب من أعداد أوّليّة فقط، لذلك تحليل إضافيّ غير ممكن

2, 5

= 2 \cdot 2 \cdot 5

= 2^{2} \cdot 5

= 2^{2} \cdot 5

n ab = n a n b

:فعْل قانون الجذور

= 5 2^{2}

n a^{n} = a

:فعْل قانون الجذور

2^{2} = 2

= 25

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 5}{2 \cdot 4}

Separate the solutions

u_{1} = \frac{- 2 + 2 5}{2 \cdot 4}, u_{2} = \frac{- 2 - 2 5}{2 \cdot 4}

u = \frac{- 2 + 2 5}{2 \cdot 4} : \frac{- 1 + 5}{4}

\frac{- 2 + 2 5}{2 \cdot 4}

2 \cdot 4 = 8 :

اضرب الأعداد

= \frac{- 2 + 2 5}{8}

- 2 + 25

حلل إلى عوامل:

2 (- 1 + 5)

- 2 + 25

أعد الكتابة كـ

= - 2 \cdot 1 + 25

2

قم باخراج العامل المشترك

= 2 (- 1 + 5)

= \frac{2 ( - 1 + 5 )}{8}

2 :

إلغ العوامل المشتركة

= \frac{- 1 + 5}{4}

u = \frac{- 2 - 2 5}{2 \cdot 4} : - \frac{1 + 5}{4}

\frac{- 2 - 2 5}{2 \cdot 4}

2 \cdot 4 = 8 :

اضرب الأعداد

= \frac{- 2 - 2 5}{8}

- 2 - 25

حلل إلى عوامل:

- 2 (1 + 5)

- 2 - 25

أعد الكتابة كـ

= - 2 \cdot 1 - 25

2

قم باخراج العامل المشترك

= - 2 (1 + 5)

= - \frac{2 ( 1 + 5 )}{8}

2 :

إلغ العوامل المشتركة

= - \frac{1 + 5}{4}

حلول المعادلة التربيعيّة هي

u = \frac{- 1 + 5}{4}, u = - \frac{1 + 5}{4}

The solutions are

u = 1, u = \frac{- 1 + 5}{4}, u = - \frac{1 + 5}{4}

u = sin (x)

استبدل مجددًا

sin (x) = 1, sin (x) = \frac{- 1 + 5}{4}, sin (x) = - \frac{1 + 5}{4}

sin (x) = 1, sin (x) = \frac{- 1 + 5}{4}, sin (x) = - \frac{1 + 5}{4}

sin (x) = 1 : x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) = 1

sin (x) = 1 :

حلول عامّة لـ

sin (x)

periodicity table with

2 πn

cycle:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) = \frac{- 1 + 5}{4} : x = arcsin (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn

sin (x) = \frac{- 1 + 5}{4}

Apply trig inverse properties

sin (x) = \frac{- 1 + 5}{4}

sin (x) = \frac{- 1 + 5}{4} :

حلول عامّة لـ

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn

x = arcsin (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn

sin (x) = - \frac{1 + 5}{4} : x = arcsin (- \frac{1 + 5}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn

sin (x) = - \frac{1 + 5}{4}

Apply trig inverse properties

sin (x) = - \frac{1 + 5}{4}

sin (x) = - \frac{1 + 5}{4} :

حلول عامّة لـ

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{1 + 5}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{1 + 5}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn

وحّد الحلول

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = arcsin (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn, x = arcsin (- \frac{1 + 5}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn

أظهر الحلّ بالتمثيل العشريّ

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = 0.31415 \dots + 2 πn, x = π - 0.31415 \dots + 2 πn, x = - 0.94247 \dots + 2 πn, x = π + 0.94247 \dots + 2 πn

رسم

أمثلة شائعة

sin^2(a)=((2tan(a)))/((1+tan^2(a)))

sin^{2} (a) = \frac{( 2 tan ( a ) )}{( 1 + tan ^{2} ( a ) )}

(tan(a))/2 = 2/11

\frac{tan ( a )}{2} = \frac{2}{11}

sin^2(x)-cos(x)= 1/2

sin^{2} (x) - cos (x) = \frac{1}{2}

cos(x)[3sin(x)-2]=0

cos (x) [3 sin (x) - 2] = 0

sin^3(x)+sin(x)-4=0

sin^{3} (x) + sin (x) - 4 = 0