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Beliebt Trigonometrie >

1/(2cos^2(x-1))=(1+tan^2(x))/(2sec^2(x))

Lösung

\frac{1}{2 cos ^{2} ( x - 1 )} = \frac{1 + tan ^{2} ( x )}{2 sec ^{2} ( x )}

Lösung

x = π + 2 πn + 1, x = 2 πn + 1

Grad

x = 237.29577 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 57.29577 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

\frac{1}{2 cos ^{2} ( x - 1 )} = \frac{1 + tan ^{2} ( x )}{2 sec ^{2} ( x )}

Subtrahiere

\frac{1 + tan ^{2} ( x )}{2 sec ^{2} ( x )}

von beiden Seiten

\frac{1}{2 cos ^{2} ( x - 1 )} - \frac{1 + tan ^{2} ( x )}{2 sec ^{2} ( x )} = 0

Vereinfache

\frac{1}{2 cos ^{2} ( x - 1 )} - \frac{1 + tan ^{2} ( x )}{2 sec ^{2} ( x )} : \frac{sec ^{2} ( x ) - cos ^{2} ( x - 1 ) ( 1 + tan ^{2} ( x ) )}{2 cos ^{2} ( x - 1 ) sec ^{2} ( x )}

\frac{1}{2 cos ^{2} ( x - 1 )} - \frac{1 + tan ^{2} ( x )}{2 sec ^{2} ( x )}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

2 cos^{2} (x - 1), 2 sec^{2} (x) : 2 cos^{2} (x - 1) sec^{2} (x)

2 cos^{2} (x - 1), 2 sec^{2} (x)

kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

kleinstes gemeinsames Vielfache von

2, 2 : 2

2, 2

kleinstes gemeinsams Vielfaches (kgV)

Primfaktorzerlegung von

2 : 2

2

2

ist eine Primzahl, deshalb ist keine Faktorisierung möglich

= 2

Primfaktorzerlegung von

2 : 2

2

2

ist eine Primzahl, deshalb ist keine Faktorisierung möglich

= 2

Multipliziere jeden Faktor mit der Anzahl wie häufig er in

2

oder

2

vorkommt

= 2

Multipliziere die Zahlen:

2 = 2

= 2

Finde einen mathematischen Ausdruck, der aus Faktoren besteht, die entweder in

2 cos^{2} (x - 1)

oder

2 sec^{2} (x)

auftauchen.

= 2 cos^{2} (x - 1) sec^{2} (x)

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

2 cos^{2} (x - 1) sec^{2} (x)

Für

\frac{1}{2 cos ^{2} ( x - 1 )} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

sec^{2} (x)

\frac{1}{2 cos ^{2} ( x - 1 )} = \frac{1 \cdot sec ^{2} ( x )}{2 cos ^{2} ( x - 1 ) sec ^{2} ( x )} = \frac{sec ^{2} ( x )}{2 cos ^{2} ( x - 1 ) sec ^{2} ( x )}

Für

\frac{1 + tan ^{2} ( x )}{2 sec ^{2} ( x )} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

cos^{2} (x - 1)

\frac{1 + tan ^{2} ( x )}{2 sec ^{2} ( x )} = \frac{( 1 + tan ^{2} ( x ) ) cos ^{2} ( x - 1 )}{2 sec ^{2} ( x ) cos ^{2} ( x - 1 )}

= \frac{sec ^{2} ( x )}{2 cos ^{2} ( x - 1 ) sec ^{2} ( x )} - \frac{( 1 + tan ^{2} ( x ) ) cos ^{2} ( x - 1 )}{2 sec ^{2} ( x ) cos ^{2} ( x - 1 )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sec ^{2} ( x ) - ( 1 + tan ^{2} ( x ) ) cos ^{2} ( x - 1 )}{2 cos ^{2} ( x - 1 ) sec ^{2} ( x )}

\frac{sec ^{2} ( x ) - cos ^{2} ( x - 1 ) ( 1 + tan ^{2} ( x ) )}{2 cos ^{2} ( x - 1 ) sec ^{2} ( x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

sec^{2} (x) - cos^{2} (x - 1) (1 + tan^{2} (x)) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

sec^{2} (x) - (1 + tan^{2} (x)) cos^{2} (- 1 + x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

tan^{2} (x) + 1 = sec^{2} (x)

= sec^{2} (x) - cos^{2} (- 1 + x) sec^{2} (x)

sec^{2} (x) - cos^{2} (- 1 + x) sec^{2} (x) = 0

Faktorisiere

sec^{2} (x) - cos^{2} (- 1 + x) sec^{2} (x) : - sec^{2} (x) (cos (- 1 + x) + 1) (cos (- 1 + x) - 1)

sec^{2} (x) - cos^{2} (- 1 + x) sec^{2} (x)

Klammere gleiche Terme aus

- sec^{2} (x)

= - sec^{2} (x) (- 1 + cos^{2} (- 1 + x))

Faktorisiere

cos^{2} (- 1 + x) - 1 : (cos (- 1 + x) + 1) (cos (- 1 + x) - 1)

cos^{2} (- 1 + x) - 1

Schreibe

1

um:

1^{2}

= cos^{2} (- 1 + x) - 1^{2}

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

cos^{2} (- 1 + x) - 1^{2} = (cos (- 1 + x) + 1) (cos (- 1 + x) - 1)

= (cos (- 1 + x) + 1) (cos (- 1 + x) - 1)

= - sec^{2} (x) (cos (- 1 + x) + 1) (cos (- 1 + x) - 1)

- sec^{2} (x) (cos (- 1 + x) + 1) (cos (- 1 + x) - 1) = 0

Löse jeden Teil einzeln

sec^{2} (x) = 0 or cos (- 1 + x) + 1 = 0 or cos (- 1 + x) - 1 = 0

sec^{2} (x) = 0 :

Keine Lösung

sec^{2} (x) = 0

Wende Regel an

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

sec (x) = 0

sec (x) \leq - 1 or sec (x) \geq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

cos (- 1 + x) + 1 = 0 : x = π + 2 πn + 1

cos (- 1 + x) + 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

cos (- 1 + x) + 1 = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

cos (- 1 + x) + 1 - 1 = 0 - 1

Vereinfache

cos (- 1 + x) = - 1

cos (- 1 + x) = - 1

Allgemeine Lösung für

cos (- 1 + x) = - 1

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

- 1 + x = π + 2 πn

- 1 + x = π + 2 πn

Löse

- 1 + x = π + 2 πn : x = π + 2 πn + 1

- 1 + x = π + 2 πn

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

- 1 + x = π + 2 πn

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

- 1 + x + 1 = π + 2 πn + 1

Vereinfache

x = π + 2 πn + 1

x = π + 2 πn + 1

x = π + 2 πn + 1

cos (- 1 + x) - 1 = 0 : x = 2 πn + 1

cos (- 1 + x) - 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

cos (- 1 + x) - 1 = 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

cos (- 1 + x) - 1 + 1 = 0 + 1

Vereinfache

cos (- 1 + x) = 1

cos (- 1 + x) = 1

Allgemeine Lösung für

cos (- 1 + x) = 1

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

- 1 + x = 0 + 2 πn

- 1 + x = 0 + 2 πn

Löse

- 1 + x = 0 + 2 πn : x = 2 πn + 1

- 1 + x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

- 1 + x = 2 πn

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

- 1 + x = 2 πn

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

- 1 + x + 1 = 2 πn + 1

Vereinfache

x = 2 πn + 1

x = 2 πn + 1

x = 2 πn + 1

Kombiniere alle Lösungen

x = π + 2 πn + 1, x = 2 πn + 1

Graph

Beliebte Beispiele

sin(2x)-2cos(2x)=0

sin (2 x) - 2 cos (2 x) = 0

tan(x)=(87.092)/(86.676)

tan (x) = \frac{87.092}{86.676}

csc(x)=-3/2

csc (x) = - \frac{3}{2}

1+3sin(θ)=0

1 + 3 sin (θ) = 0

(tan(2x))/(sin(x))=-2

\frac{tan ( 2 x )}{sin ( x )} = - 2