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8sin(2x)+15cos(x)=0

Lösung

8 sin (2 x) + 15 cos (x) = 0

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = - 1.21537 \dots + 2 πn, x = π + 1.21537 \dots + 2 πn

Grad

x = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 69.63586 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 249.63586 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

8 sin (2 x) + 15 cos (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

15 cos (x) + 8 sin (2 x)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= 15 cos (x) + 8 \cdot 2 sin (x) cos (x)

Vereinfache

= 15 cos (x) + 16 sin (x) cos (x)

15 cos (x) + 16 cos (x) sin (x) = 0

Faktorisiere

15 cos (x) + 16 cos (x) sin (x) : cos (x) (16 sin (x) + 15)

15 cos (x) + 16 cos (x) sin (x)

Klammere gleiche Terme aus

cos (x)

= cos (x) (15 + 16 sin (x))

cos (x) (16 sin (x) + 15) = 0

Löse jeden Teil einzeln

cos (x) = 0 or 16 sin (x) + 15 = 0

cos (x) = 0 : x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (x) = 0

Allgemeine Lösung für

cos (x) = 0

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

16 sin (x) + 15 = 0 : x = arcsin (- \frac{15}{16}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{15}{16}) + 2 πn

16 sin (x) + 15 = 0

Verschiebe

15

auf die rechte Seite

16 sin (x) + 15 = 0

Subtrahiere

15

von beiden Seiten

16 sin (x) + 15 - 15 = 0 - 15

Vereinfache

16 sin (x) = - 15

16 sin (x) = - 15

Teile beide Seiten durch

16

16 sin (x) = - 15

Teile beide Seiten durch

16

\frac{16 sin ( x )}{16} = \frac{- 15}{16}

Vereinfache

sin (x) = - \frac{15}{16}

sin (x) = - \frac{15}{16}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (x) = - \frac{15}{16}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = - \frac{15}{16}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{15}{16}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{15}{16}) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{15}{16}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{15}{16}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = arcsin (- \frac{15}{16}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{15}{16}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = - 1.21537 \dots + 2 πn, x = π + 1.21537 \dots + 2 πn

cos (\frac{x}{2}) - 2 cos (x) - 2 = 0

8 \cdot cos^{2} (3 x) + 6 \cdot cos (6 x) = 10216

sin (x) = \frac{48 \cdot sin ( 6 9 ^{\circ} )}{47.5}

cos (x) = \frac{8 3}{16}

so l v e f or x, cos^{2} (x) = 0