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Populaire Trigonométrie >

2sin^2(x)-sqrt(2sin(x))=0

Solution

2 sin^{2} (x) - 2 sin (x) = 0

Solution

x = 2 πn, x = π + 2 πn, x = 0.91686 \dots + 2 πn, x = π - 0.91686 \dots + 2 πn

Degrés

x = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 52.53268 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 127.46731 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

étapes des solutions

2 sin^{2} (x) - 2 sin (x) = 0

Résoudre par substitution

2 sin^{2} (x) - 2 sin (x) = 0

Soit :

sin (x) = u

2 u^{2} - 2 u = 0

2 u^{2} - 2 u = 0 : u = 0, u = \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}

2 u^{2} - 2 u = 0

Supprimer les racines carrées

2 u^{2} - 2 u = 0

Soustraire

2 u^{2}

des deux côtés

2 u^{2} - 2 u - 2 u^{2} = 0 - 2 u^{2}

Simplifier

- 2 u = - 2 u^{2}

Mettre les deux côtés au carré:

2 u = 4 u^{4}

2 u^{2} - 2 u = 0

(- 2 u)^{2} = (- 2 u^{2})^{2}

Développer

(- 2 u)^{2} : 2 u

(- 2 u)^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(- a)^{n} = a^{n},

n

pair

(- 2 u)^{2} = (2 u)^{2}

= (2 u)^{2}

Appliquer la règle des radicaux:

a = a^{\frac{1}{2}}

= ((2 u)^{\frac{1}{2}})^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= (2 u)^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Annuler le facteur commun :

2

= 1

= 2 u

Développer

(- 2 u^{2})^{2} : 4 u^{4}

(- 2 u^{2})^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(- a)^{n} = a^{n},

n

pair

(- 2 u^{2})^{2} = (2 u^{2})^{2}

= (2 u^{2})^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 2^{2} (u^{2})^{2}

(u^{2})^{2} : u^{4}

Appliquer la règle de l'exposant:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= u^{2 \cdot 2}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 2 = 4

= u^{4}

= 2^{2} u^{4}

2^{2} = 4

= 4 u^{4}

2 u = 4 u^{4}

2 u = 4 u^{4}

2 u = 4 u^{4}

Résoudre

2 u = 4 u^{4} : u = 0, u = \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}

2 u = 4 u^{4}

Déplacer

4 u^{4}

vers la gauche

2 u = 4 u^{4}

Soustraire

4 u^{4}

des deux côtés

2 u - 4 u^{4} = 4 u^{4} - 4 u^{4}

Simplifier

2 u - 4 u^{4} = 0

2 u - 4 u^{4} = 0

Factoriser

2 u - 4 u^{4} : - 2 u (32 u - 1) (2^{\frac{2}{3}} u^{2} + 32 u + 1)

2 u - 4 u^{4}

Factoriser le terme commun

- 2 u : - 2 u (2 u^{3} - 1)

- 4 u^{4} + 2 u

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{4} = u^{3} u

= - 4 u^{3} u + 2 u

Récrire

4

comme

2 \cdot 2

= - 2 \cdot 2 u^{3} u + 2 u

Factoriser le terme commun

- 2 u

= - 2 u (2 u^{3} - 1)

= - 2 u (2 u^{3} - 1)

Factoriser

2 u^{3} - 1 : (32 u - 1) ((32)^{2} u^{2} + 32 u + 1)

2 u^{3} - 1

Récrire

2 u^{3} - 1

comme

(32 u)^{3} - 1^{3}

2 u^{3} - 1

Appliquer la règle des radicaux:

a = (a)^{2}

2 = (32)^{3}

= (32)^{3} u^{3} - 1

Récrire

1

comme

1^{3}

= (32)^{3} u^{3} - 1^{3}

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

(32)^{3} u^{3} = (32 u)^{3}

= (32 u)^{3} - 1^{3}

= (32 u)^{3} - 1^{3}

Appliquer la formule de différence de cubes :

x^{3} - y^{3} = (x - y) (x^{2} + x y + y^{2})

(32 u)^{3} - 1^{3} = (32 u - 1) ((32)^{2} u^{2} + 32 u + 1)

= (32 u - 1) ((32)^{2} u^{2} + 32 u + 1)

= - 2 u (32 u - 1) ((32)^{2} u^{2} + 32 u + 1)

Redéfinir

= - 2 u (32 u - 1) (2^{\frac{2}{3}} u^{2} + 32 u + 1)

- 2 u (32 u - 1) (2^{\frac{2}{3}} u^{2} + 32 u + 1) = 0

En utilisant le principe du facteur zéro : Si

ab = 0

alors

a = 0

b = 0

u = 0 or 32 u - 1 = 0 or 2^{\frac{2}{3}} u^{2} + 32 u + 1 = 0

Résoudre

32 u - 1 = 0 : u = \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}

32 u - 1 = 0

Déplacer

1

vers la droite

32 u - 1 = 0

Ajouter

1

aux deux côtés

32 u - 1 + 1 = 0 + 1

Simplifier

32 u = 1

32 u = 1

Diviser les deux côtés par

32

32 u = 1

Diviser les deux côtés par

32

\frac{3 2 u}{3 2} = \frac{1}{3 2}

Simplifier

\frac{3 2 u}{3 2} = \frac{1}{3 2}

Simplifier

\frac{3 2 u}{3 2} : u

\frac{3 2 u}{3 2}

Annuler le facteur commun :

32

= u

Simplifier

\frac{1}{3 2} : \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}

\frac{1}{3 2}

Multiplier par le conjugué

\frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2 ^{\frac{2}{3}}}

= \frac{1 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}{3 2 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}

1 \cdot 2^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{2}{3}}

32 \cdot 2^{\frac{2}{3}} = 2

32 \cdot 2^{\frac{2}{3}}

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

2^{\frac{2}{3}} 32 = 2^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}

= 2^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}

Relier

\frac{2}{3} + \frac{1}{3} : 1

\frac{2}{3} + \frac{1}{3}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 + 1}{3}

Additionner les nombres :

2 + 1 = 3

= \frac{3}{3}

Appliquer la règle

\frac{a}{a} = 1

= 1

= 2^{1}

Appliquer la règle

a^{1} = a

= 2

= \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}

u = \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}

u = \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}

u = \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}

Résoudre

2^{\frac{2}{3}} u^{2} + 32 u + 1 = 0 :

Aucune solution pour

u \in R

2^{\frac{2}{3}} u^{2} + 32 u + 1 = 0

Discriminant noté

2^{\frac{2}{3}} u^{2} + 32 u + 1 = 0 : - 3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}

2^{\frac{2}{3}} u^{2} + 32 u + 1 = 0

Pour une équation quadratique de forme

a x^{2} + b x + c = 0

le discriminant noté est

b^{2} - 4 a c

Pour

a = 2^{\frac{2}{3}}, b = 32, c = 1 : (32)^{2} - 4 \cdot 2^{\frac{2}{3}} \cdot 1

(32)^{2} - 4 \cdot 2^{\frac{2}{3}} \cdot 1

Développer

(32)^{2} - 4 \cdot 2^{\frac{2}{3}} \cdot 1 : - 3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}

(32)^{2} - 4 \cdot 2^{\frac{2}{3}} \cdot 1

(32)^{2} = 2^{\frac{2}{3}}

(32)^{2}

Appliquer la règle des radicaux:

n a = a^{\frac{1}{n}}

= (2^{\frac{1}{3}})^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 2^{\frac{1}{3} \cdot 2}

\frac{1}{3} \cdot 2 = \frac{2}{3}

\frac{1}{3} \cdot 2

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{3}

Multiplier les nombres :

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2}{3}

= 2^{\frac{2}{3}}

4 \cdot 2^{\frac{2}{3}} \cdot 1 = 4 \cdot 2^{\frac{2}{3}}

4 \cdot 2^{\frac{2}{3}} \cdot 1

Multiplier les nombres :

4 \cdot 1 = 4

= 4 \cdot 2^{\frac{2}{3}}

= 2^{\frac{2}{3}} - 4 \cdot 2^{\frac{2}{3}}

Additionner les éléments similaires :

2^{\frac{2}{3}} - 4 \cdot 2^{\frac{2}{3}} = - 3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}

= - 3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}

- 3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}

Le discriminant noté ne peut pas être négatif pour

u \in R

La solution est

Aucune solution pour u \in R

Les solutions sont

u = 0, u = \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}

u = 0, u = \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}

Vérifier les solutions:

u = 0

vrai

, u = \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}

vrai

Vérifier des solutions en les intégrant dans

2 u^{2} - 2 u = 0

Retirer celles qui ne répondent pas à l'équation.

Insérer

u = 0 :

vrai

2 \cdot 0^{2} - 2 \cdot 0 = 0

2 \cdot 0^{2} - 2 \cdot 0 = 0

2 \cdot 0^{2} - 2 \cdot 0

Appliquer la règle

0^{a} = 0

0^{2} = 0

= 2 \cdot 0 - 2 \cdot 0

2 \cdot 0 = 0

2 \cdot 0

Appliquer la règle

0 \cdot a = 0

= 0

2 \cdot 0 = 0

2 \cdot 0

Appliquer la règle

0 \cdot a = 0

= 0

Appliquer la règle

0 = 0

= 0

= 0 - 0

Soustraire les nombres :

0 - 0 = 0

= 0

0 = 0

vrai

Insérer

u = \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2} :

vrai

2 (\frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2})^{2} - 2 (\frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}) = 0

2 (\frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2})^{2} - 2 (\frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}) = 2^{\frac{1}{3}} - 2^{\frac{2}{3}}

2 (\frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2})^{2} - 2 (\frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2})

Retirer les parenthèses:

(a) = a

= 2 (\frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2})^{2} - 2 \cdot \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}

2 (\frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2})^{2} = 2^{\frac{1}{3}}

2 (\frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2})^{2}

(\frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2})^{2} = \frac{1}{2 ^{\frac{2}{3}}}

(\frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2})^{2}

\frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2} = \frac{1}{2 ^{\frac{1}{3}}}

\frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

\frac{x ^{a}}{x ^{b}} = \frac{1}{x ^{b - a}}

\frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2} = \frac{1}{2 ^{1 - \frac{2}{3}}}

= \frac{1}{2 ^{1 - \frac{2}{3}}}

Soustraire les nombres :

1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}

= \frac{1}{2 ^{\frac{1}{3}}}

= (\frac{1}{2 ^{\frac{1}{3}}})^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{( 2 ^{\frac{1}{3}} ) ^{2}}

(2^{\frac{1}{3}})^{2} : 2^{\frac{2}{3}}

Appliquer la règle de l'exposant:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 2^{\frac{1}{3} \cdot 2}

\frac{1}{3} \cdot 2 = \frac{2}{3}

\frac{1}{3} \cdot 2

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{3}

Multiplier les nombres :

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2}{3}

= 2^{\frac{2}{3}}

= \frac{1 ^{2}}{2 ^{\frac{2}{3}}}

Appliquer la règle

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{2 ^{\frac{2}{3}}}

= 2 \cdot \frac{1}{2 ^{\frac{2}{3}}}

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2 ^{\frac{2}{3}}}

Multiplier les nombres :

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2}{2 ^{\frac{2}{3}}}

Appliquer la règle de l'exposant:

\frac{x ^{a}}{x ^{b}} = x^{a - b}

\frac{2}{2 ^{\frac{2}{3}}} = 2^{1 - \frac{2}{3}}

= 2^{1 - \frac{2}{3}}

Soustraire les nombres :

1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}

= 2^{\frac{1}{3}}

2 \cdot \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2} = 2^{\frac{2}{3}}

2 \cdot \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}

Multiplier

2 \cdot \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2} : 2^{\frac{2}{3}}

2 \cdot \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 ^{\frac{2}{3}} \cdot 2}{2}

Annuler le facteur commun :

2

= 2^{\frac{2}{3}}

= 2^{\frac{2}{3}}

= 2^{\frac{1}{3}} - 2^{\frac{2}{3}}

2^{\frac{1}{3}} - 2^{\frac{2}{3}} = 0

vrai

Les solutions sont

u = 0, u = \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}

Remplacer

u = sin (x)

sin (x) = 0, sin (x) = \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}

sin (x) = 0, sin (x) = \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}

sin (x) = 0 : x = 2 πn, x = π + 2 πn

sin (x) = 0

Solutions générales pour

sin (x) = 0

Tableau de périodicité

sin (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

Résoudre

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn, x = π + 2 πn

sin (x) = \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2} : x = arcsin (\frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}) + 2 πn

sin (x) = \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}

Appliquer les propriétés trigonométriques inverses

sin (x) = \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}

Solutions générales pour

sin (x) = \frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (\frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}) + 2 πn

x = arcsin (\frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}) + 2 πn

Combiner toutes les solutions

x = 2 πn, x = π + 2 πn, x = arcsin (\frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{2 ^{\frac{2}{3}}}{2}) + 2 πn

Montrer les solutions sous la forme décimale

x = 2 πn, x = π + 2 πn, x = 0.91686 \dots + 2 πn, x = π - 0.91686 \dots + 2 πn

Graphe

Exemples populaires

9sin^2(x)-6sin(x)+1=0

9 sin^{2} (x) - 6 sin (x) + 1 = 0

cos(a)+1=4cos(a)+1

cos (a) + 1 = 4 cos (a) + 1

6cos(x)+3sin(x)=5

6 cos (x) + 3 sin (x) = 5

(2sin(x)-1)cos(x)=0

(2 sin (x) - 1) cos (x) = 0

sin(2x)+cos(x)=0,x<= 2pi,0

sin (2 x) + cos (x) = 0, x \leq 2 π, 0