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tan(θ)=sin(2θ)

Solução

tan (θ) = sin (2 θ)

Solução

θ = 2 πn, θ = π + 2 πn, θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{4} + 2 πn, θ = \frac{π}{4} + 2 πn, θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Graus

θ = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 13 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 22 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 4 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 31 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Passos da solução

tan (θ) = sin (2 θ)

Subtrair

sin (2 θ)

de ambos os lados

tan (θ) - sin (2 θ) = 0

Expresar com seno, cosseno

- sin (2 θ) + tan (θ)

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= - sin (2 θ) + \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Simplificar

- sin (2 θ) + \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} : \frac{- sin ( 2 θ ) cos ( θ ) + sin ( θ )}{cos ( θ )}

- sin (2 θ) + \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Converter para fração:

sin (2 θ) = \frac{sin ( 2 θ ) cos ( θ )}{cos ( θ )}

= - \frac{sin ( 2 θ ) cos ( θ )}{cos ( θ )} + \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- sin ( 2 θ ) cos ( θ ) + sin ( θ )}{cos ( θ )}

= \frac{- sin ( 2 θ ) cos ( θ ) + sin ( θ )}{cos ( θ )}

\frac{sin ( θ ) - cos ( θ ) sin ( 2 θ )}{cos ( θ )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

sin (θ) - cos (θ) sin (2 θ) = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

sin (θ) - cos (θ) sin (2 θ)

Utilizar a identidade trigonométrica do arco duplo:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= sin (θ) - cos (θ) \cdot 2 sin (θ) cos (θ)

cos (θ) \cdot 2 sin (θ) cos (θ) = 2 cos^{2} (θ) sin (θ)

cos (θ) \cdot 2 sin (θ) cos (θ)

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (θ) cos (θ) = cos^{1 + 1} (θ)

= 2 sin (θ) cos^{1 + 1} (θ)

Somar:

1 + 1 = 2

= 2 sin (θ) cos^{2} (θ)

= sin (θ) - 2 cos^{2} (θ) sin (θ)

sin (θ) - 2 cos^{2} (θ) sin (θ) = 0

Fatorar

sin (θ) - 2 cos^{2} (θ) sin (θ) : - sin (θ) (2 cos (θ) + 1) (2 cos (θ) - 1)

sin (θ) - 2 cos^{2} (θ) sin (θ)

Fatorar o termo comum

- sin (θ)

= - sin (θ) (- 1 + 2 cos^{2} (θ))

Fatorar

2 cos^{2} (θ) - 1 : (2 cos (θ) + 1) (2 cos (θ) - 1)

2 cos^{2} (θ) - 1

Reescrever

2 cos^{2} (θ) - 1

como

(2 cos (θ))^{2} - 1^{2}

2 cos^{2} (θ) - 1

Aplicar as propriedades dos radicais:

a = (a)^{2}

2 = (2)^{2}

= (2)^{2} cos^{2} (θ) - 1

Reescrever

1

como

1^{2}

= (2)^{2} cos^{2} (θ) - 1^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

(2)^{2} cos^{2} (θ) = (2 cos (θ))^{2}

= (2 cos (θ))^{2} - 1^{2}

= (2 cos (θ))^{2} - 1^{2}

Aplicar a regra da diferença de quadrados:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(2 cos (θ))^{2} - 1^{2} = (2 cos (θ) + 1) (2 cos (θ) - 1)

= (2 cos (θ) + 1) (2 cos (θ) - 1)

= - sin (θ) (2 cos (θ) + 1) (2 cos (θ) - 1)

- sin (θ) (2 cos (θ) + 1) (2 cos (θ) - 1) = 0

Resolver cada parte separadamente

sin (θ) = 0 or 2 cos (θ) + 1 = 0 or 2 cos (θ) - 1 = 0

sin (θ) = 0 : θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

sin (θ) = 0

Soluções gerais para

sin (θ) = 0

sin (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

θ = 0 + 2 πn, θ = π + 2 πn

θ = 0 + 2 πn, θ = π + 2 πn

Resolver

θ = 0 + 2 πn : θ = 2 πn

θ = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

θ = 2 πn

θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

2 cos (θ) + 1 = 0 : θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{4} + 2 πn

2 cos (θ) + 1 = 0

Mova

1

para o lado direito

2 cos (θ) + 1 = 0

Subtrair

1

de ambos os lados

2 cos (θ) + 1 - 1 = 0 - 1

Simplificar

2 cos (θ) = - 1

2 cos (θ) = - 1

Dividir ambos os lados por

2

2 cos (θ) = - 1

Dividir ambos os lados por

2

\frac{2 cos ( θ )}{2} = \frac{- 1}{2}

Simplificar

\frac{2 cos ( θ )}{2} = \frac{- 1}{2}

Simplificar

\frac{2 cos ( θ )}{2} : cos (θ)

\frac{2 cos ( θ )}{2}

Eliminar o fator comum:

2

= cos (θ)

Simplificar

\frac{- 1}{2} : - \frac{2}{2}

\frac{- 1}{2}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1}{2}

Racionalizar

- \frac{1}{2} : - \frac{2}{2}

- \frac{1}{2}

Multiplicar pelo conjugado

\frac{2}{2}

= - \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Aplicar as propriedades dos radicais:

a a = a

22 = 2

= 2

= - \frac{2}{2}

= - \frac{2}{2}

cos (θ) = - \frac{2}{2}

cos (θ) = - \frac{2}{2}

cos (θ) = - \frac{2}{2}

Soluções gerais para

cos (θ) = - \frac{2}{2}

cos (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{4} + 2 πn

θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{4} + 2 πn

2 cos (θ) - 1 = 0 : θ = \frac{π}{4} + 2 πn, θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn

2 cos (θ) - 1 = 0

Mova

1

para o lado direito

2 cos (θ) - 1 = 0

Adicionar

1

a ambos os lados

2 cos (θ) - 1 + 1 = 0 + 1

Simplificar

2 cos (θ) = 1

2 cos (θ) = 1

Dividir ambos os lados por

2

2 cos (θ) = 1

Dividir ambos os lados por

2

\frac{2 cos ( θ )}{2} = \frac{1}{2}

Simplificar

\frac{2 cos ( θ )}{2} = \frac{1}{2}

Simplificar

\frac{2 cos ( θ )}{2} : cos (θ)

\frac{2 cos ( θ )}{2}

Eliminar o fator comum:

2

= cos (θ)

Simplificar

\frac{1}{2} : \frac{2}{2}

\frac{1}{2}

Multiplicar pelo conjugado

\frac{2}{2}

= \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Aplicar as propriedades dos radicais:

a a = a

22 = 2

= 2

= \frac{2}{2}

cos (θ) = \frac{2}{2}

cos (θ) = \frac{2}{2}

cos (θ) = \frac{2}{2}

Soluções gerais para

cos (θ) = \frac{2}{2}

cos (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{π}{4} + 2 πn, θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn

θ = \frac{π}{4} + 2 πn, θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Combinar toda as soluções

θ = 2 πn, θ = π + 2 πn, θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{4} + 2 πn, θ = \frac{π}{4} + 2 πn, θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Exemplos populares

sin(θ_{1})=-10/13

sin (θ_{1}) = - \frac{10}{13}

sin(a^{-1})=(2.6)/(0.1733)

sin (a^{- 1}) = \frac{2.6}{0.1733}

sin(θ)+cos(θ)=0.46

sin (θ) + cos (θ) = 0.46

3cos(x)-4sin(x)=5

3 cos (x) - 4 sin (x) = 5

cos(2x)+sqrt(2)cos(x)=-1

cos (2 x) + 2 cos (x) = - 1