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Beliebt Trigonometrie >

2cos(t)=1+sin(t)

Lösung

2 cos (t) = 1 + sin (t)

Lösung

t = \frac{3 π}{2} + 2 πn, t = 0.64350 \dots + 2 πn

Grad

t = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, t = 36.86989 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

2 cos (t) = 1 + sin (t)

Quadriere beide Seiten

(2 cos (t))^{2} = (1 + sin (t))^{2}

Subtrahiere

(1 + sin (t))^{2}

von beiden Seiten

4 cos^{2} (t) - 1 - 2 sin (t) - sin^{2} (t) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 1 - sin^{2} (t) - 2 sin (t) + 4 cos^{2} (t)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - 1 - sin^{2} (t) - 2 sin (t) + 4 (1 - sin^{2} (t))

Vereinfache

- 1 - sin^{2} (t) - 2 sin (t) + 4 (1 - sin^{2} (t)) : - 5 sin^{2} (t) - 2 sin (t) + 3

- 1 - sin^{2} (t) - 2 sin (t) + 4 (1 - sin^{2} (t))

Multipliziere aus

4 (1 - sin^{2} (t)) : 4 - 4 sin^{2} (t)

4 (1 - sin^{2} (t))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 4, b = 1, c = sin^{2} (t)

= 4 \cdot 1 - 4 sin^{2} (t)

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 = 4

= 4 - 4 sin^{2} (t)

= - 1 - sin^{2} (t) - 2 sin (t) + 4 - 4 sin^{2} (t)

Vereinfache

- 1 - sin^{2} (t) - 2 sin (t) + 4 - 4 sin^{2} (t) : - 5 sin^{2} (t) - 2 sin (t) + 3

- 1 - sin^{2} (t) - 2 sin (t) + 4 - 4 sin^{2} (t)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - sin^{2} (t) - 2 sin (t) - 4 sin^{2} (t) - 1 + 4

Addiere gleiche Elemente:

- sin^{2} (t) - 4 sin^{2} (t) = - 5 sin^{2} (t)

= - 5 sin^{2} (t) - 2 sin (t) - 1 + 4

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 1 + 4 = 3

= - 5 sin^{2} (t) - 2 sin (t) + 3

= - 5 sin^{2} (t) - 2 sin (t) + 3

= - 5 sin^{2} (t) - 2 sin (t) + 3

3 - 2 sin (t) - 5 sin^{2} (t) = 0

Löse mit Substitution

3 - 2 sin (t) - 5 sin^{2} (t) = 0

Angenommen:

sin (t) = u

3 - 2 u - 5 u^{2} = 0

3 - 2 u - 5 u^{2} = 0 : u = - 1, u = \frac{3}{5}

3 - 2 u - 5 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 5 u^{2} - 2 u + 3 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 5 u^{2} - 2 u + 3 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 5, b = - 2, c = 3

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 ( - 5 ) \cdot 3}{2 ( - 5 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 ( - 5 ) \cdot 3}{2 ( - 5 )}

(- 2)^{2} - 4 (- 5) \cdot 3 = 8

(- 2)^{2} - 4 (- 5) \cdot 3

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 2)^{2} + 4 \cdot 5 \cdot 3

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} + 4 \cdot 5 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 5 \cdot 3 = 60

= 2^{2} + 60

2^{2} = 4

= 4 + 60

Addiere die Zahlen:

4 + 60 = 64

= 64

Faktorisiere die Zahl:

64 = 8^{2}

= 8^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

8^{2} = 8

= 8

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 8}{2 ( - 5 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 8}{2 ( - 5 )}, u_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 8}{2 ( - 5 )}

u = \frac{- ( - 2 ) + 8}{2 ( - 5 )} : - 1

\frac{- ( - 2 ) + 8}{2 ( - 5 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 + 8}{- 2 \cdot 5}

Addiere die Zahlen:

2 + 8 = 10

= \frac{10}{- 2 \cdot 5}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 5 = 10

= \frac{10}{- 10}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{10}{10}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= - 1

u = \frac{- ( - 2 ) - 8}{2 ( - 5 )} : \frac{3}{5}

\frac{- ( - 2 ) - 8}{2 ( - 5 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 - 8}{- 2 \cdot 5}

Subtrahiere die Zahlen:

2 - 8 = - 6

= \frac{- 6}{- 2 \cdot 5}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 5 = 10

= \frac{- 6}{- 10}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{6}{10}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{3}{5}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - 1, u = \frac{3}{5}

Setze in

u = sin (t)

ein

sin (t) = - 1, sin (t) = \frac{3}{5}

sin (t) = - 1, sin (t) = \frac{3}{5}

sin (t) = - 1 : t = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (t) = - 1

Allgemeine Lösung für

sin (t) = - 1

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

t = \frac{3 π}{2} + 2 πn

t = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (t) = \frac{3}{5} : t = arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn, t = π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn

sin (t) = \frac{3}{5}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (t) = \frac{3}{5}

Allgemeine Lösung für

sin (t) = \frac{3}{5}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

t = arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn, t = π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn

t = arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn, t = π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

t = \frac{3 π}{2} + 2 πn, t = arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn, t = π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

2 cos (t) = 1 + sin (t)

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

\frac{3 π}{2} + 2 πn :

Wahr

\frac{3 π}{2} + 2 πn

Setze ein

n = 1

\frac{3 π}{2} + 2 π 1

Setze

t = \frac{3 π}{2} + 2 π 1

2 cos (t) = 1 + sin (t)

ein, um zu lösen

2 cos (\frac{3 π}{2} + 2 π 1) = 1 + sin (\frac{3 π}{2} + 2 π 1)

Fasse zusammen

0 = 0

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn :

Wahr

arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arcsin (\frac{3}{5}) + 2 π 1

Setze

t = arcsin (\frac{3}{5}) + 2 π 1

2 cos (t) = 1 + sin (t)

ein, um zu lösen

2 cos (arcsin (\frac{3}{5}) + 2 π 1) = 1 + sin (arcsin (\frac{3}{5}) + 2 π 1)

Fasse zusammen

1.6 = 1.6

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn :

Falsch

π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 π 1

Setze

t = π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 π 1

2 cos (t) = 1 + sin (t)

ein, um zu lösen

2 cos (π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 π 1) = 1 + sin (π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 π 1)

Fasse zusammen

- 1.6 = 1.6

\Rightarrow Falsch

t = \frac{3 π}{2} + 2 πn, t = arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

t = \frac{3 π}{2} + 2 πn, t = 0.64350 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

sin(x)-sqrt(3)cos(x)=-1

sin (x) - 3 cos (x) = - 1

sin(θ)=(-1)/(sqrt(17))

sin (θ) = \frac{- 1}{17}

tan(x)+cot(x)=3,=tan(3x)+cot(3x)

tan (x) + cot (x) = 3, = tan (3 x) + cot (3 x)

3cot(x)-1=cot^2(x)

3 cot (x) - 1 = cot^{2} (x)

sin(x)=-0.974

sin (x) = - 0.974