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Popolare Trigonometria >

2^{arccos(x)}+4^{arccos(x)+1}-2=3

Soluzione

2^{a r c c o s (x)} + 4^{a r c c o s (x) + 1} - 2 = 3

Soluzione

x = 1

Fasi della soluzione

2^{a r c c o s (x)} + 4^{a r c c o s (x) + 1} - 2 = 3

Risolvi per sostituzione

2^{a r c c o s (x)} + 4^{a r c c o s (x) + 1} - 2 = 3

Sia:

arccos (x) = u

2^{u} + 4^{u + 1} - 2 = 3

2^{u} + 4^{u + 1} - 2 = 3 : u = 0

2^{u} + 4^{u + 1} - 2 = 3

Applica le regole dell'esponente

2^{u} + 4^{u + 1} - 2 = 3

Converti in base

2 : 2^{u} + 2^{2 (u + 1)} - 2 = 3

Converti 4 in base 2

4 = 2^{2}

2^{u} + (2^{2})^{u + 1} - 2 = 3

Applica la regola degli esponenti:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

(2^{2})^{u + 1} = 2^{2 (u + 1)}

2^{u} + 2^{2 (u + 1)} - 2 = 3

2^{u} + 2^{2 (u + 1)} - 2 = 3

Applica la regola degli esponenti:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

2^{2 (u + 1)} = 2^{2 u} \cdot 2^{2}

2^{u} + 2^{2 u} \cdot 2^{2} - 2 = 3

Applica la regola degli esponenti:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

2^{2 u} = (2^{u})^{2}

2^{u} + (2^{u})^{2} \cdot 2^{2} - 2 = 3

2^{u} + (2^{u})^{2} \cdot 2^{2} - 2 = 3

Riscrivi l'equazione con

2^{u} = v

v + (v)^{2} \cdot 2^{2} - 2 = 3

Risolvi

v + v^{2} \cdot 2^{2} - 2 = 3 : v = 1, v = - \frac{5}{4}

v + v^{2} \cdot 2^{2} - 2 = 3

Espandere

v + v^{2} \cdot 2^{2} - 2 : v + 4 v^{2} - 2

v + v^{2} \cdot 2^{2} - 2

2^{2} = 4

= v + 4 v^{2} - 2

v + 4 v^{2} - 2 = 3

Spostare

3

a sinistra dell'equazione

v + 4 v^{2} - 2 = 3

Sottrarre

3

da entrambi i lati

v + 4 v^{2} - 2 - 3 = 3 - 3

Semplificare

4 v^{2} + v - 5 = 0

4 v^{2} + v - 5 = 0

Risolvi con la formula quadratica

4 v^{2} + v - 5 = 0

Formula dell'equazione quadratica:

Per

a = 4, b = 1, c = - 5

v_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 5 )}{2 \cdot 4}

v_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 5 )}{2 \cdot 4}

1^{2} - 4 \cdot 4 (- 5) = 9

1^{2} - 4 \cdot 4 (- 5)

Applicare la regola

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 4 \cdot 4 (- 5)

Applicare la regola

- (- a) = a

= 1 + 4 \cdot 4 \cdot 5

Moltiplica i numeri:

4 \cdot 4 \cdot 5 = 80

= 1 + 80

Aggiungi i numeri:

1 + 80 = 81

= 81

Fattorizzare il numero:

81 = 9^{2}

= 9^{2}

Applicare la regola della radice:

n a^{n} = a

9^{2} = 9

= 9

v_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 9}{2 \cdot 4}

Separare le soluzioni

v_{1} = \frac{- 1 + 9}{2 \cdot 4}, v_{2} = \frac{- 1 - 9}{2 \cdot 4}

v = \frac{- 1 + 9}{2 \cdot 4} : 1

\frac{- 1 + 9}{2 \cdot 4}

Aggiungi/Sottrai i numeri:

- 1 + 9 = 8

= \frac{8}{2 \cdot 4}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{8}{8}

Applicare la regola

\frac{a}{a} = 1

= 1

v = \frac{- 1 - 9}{2 \cdot 4} : - \frac{5}{4}

\frac{- 1 - 9}{2 \cdot 4}

Sottrai i numeri:

- 1 - 9 = - 10

= \frac{- 10}{2 \cdot 4}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 10}{8}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{10}{8}

Cancella il fattore comune:

2

= - \frac{5}{4}

Le soluzioni dell'equazione quadratica sono:

v = 1, v = - \frac{5}{4}

v = 1, v = - \frac{5}{4}

Sostituisci

v = 2^{u},

risolvi per

u

Risolvi

2^{u} = 1 : u = 0

2^{u} = 1

Applica le regole dell'esponente

2^{u} = 1

f (x) = g (x)

, allora

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (2^{u}) = ln (1)

Applica la regola del logaritmo:

ln (x^{a}) = a \cdot ln (x)

ln (2^{u}) = u ln (2)

u ln (2) = ln (1)

u ln (2) = ln (1)

Risolvi

u ln (2) = ln (1) : u = 0

u ln (2) = ln (1)

Dividere entrambi i lati per

ln (2)

u ln (2) = ln (1)

Dividere entrambi i lati per

ln (2)

\frac{u ln ( 2 )}{ln ( 2 )} = \frac{ln ( 1 )}{ln ( 2 )}

Semplificare

\frac{u ln ( 2 )}{ln ( 2 )} = \frac{ln ( 1 )}{ln ( 2 )}

Semplificare

\frac{u ln ( 2 )}{ln ( 2 )} : u

\frac{u ln ( 2 )}{ln ( 2 )}

Cancella il fattore comune:

ln (2)

= u

Semplificare

\frac{ln ( 1 )}{ln ( 2 )} : 0

\frac{ln ( 1 )}{ln ( 2 )}

Semplifica

ln (1) : 0

ln (1)

Applica la regola del logaritmo:

lo g_{a} (1) = 0

= 0

= \frac{0}{ln ( 2 )}

Applicare la regola

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= 0

u = 0

u = 0

u = 0

u = 0

Risolvi

2^{u} = - \frac{5}{4} :

Nessuna soluzione per

u \in R

2^{u} = - \frac{5}{4}

a^{f(u)} non può essere zero o negativo per u\in\mathbb{R}

Nessuna soluzione per u \in R

u = 0

Sostituire indietro

u = arccos (x)

arccos (x) = 0

arccos (x) = 0

arccos (x) = 0 : x = 1

arccos (x) = 0

Applica le proprietà inverse delle funzioni trigonometriche

arccos (x) = 0

arccos (x) = a \Rightarrow x = cos (a)

x = cos (0)

cos (0) = 1

cos (0)

Usare la seguente identità triviale:

cos (0) = 1

cos (0)

cos (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= 1

= 1

x = 1

x = 1

Combinare tutte le soluzioni

x = 1

Grafico

Esempi popolari

3cos(x)+sin(2x)=0

3 cos (x) + sin (2 x) = 0

tan(α)=0.875

tan (α) = 0.875

sin(x)= 18/31

sin (x) = \frac{18}{31}

4cos^3(x)-3cos(x)=-0.7071

4 cos^{3} (x) - 3 cos (x) = - 0.7071

2tan(x)=tan(2x)

2 tan (x) = tan (2 x)