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Beliebt Trigonometrie >

1/(tan(α))+tan(α)= 1/(sin(α))

Lösung

\frac{1}{tan ( α )} + tan (α) = \frac{1}{sin ( α )}

Lösung

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r α \in R

Schritte zur Lösung

\frac{1}{tan ( α )} + tan (α) = \frac{1}{sin ( α )}

Subtrahiere

\frac{1}{sin ( α )}

von beiden Seiten

\frac{1}{tan ( α )} + tan (α) - \frac{1}{sin ( α )} = 0

Vereinfache

\frac{1}{tan ( α )} + tan (α) - \frac{1}{sin ( α )} : \frac{sin ( α ) + tan ^{2} ( α ) sin ( α ) - tan ( α )}{tan ( α ) sin ( α )}

\frac{1}{tan ( α )} + tan (α) - \frac{1}{sin ( α )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

tan (α) = \frac{tan ( α )}{1}

= \frac{1}{tan ( α )} + \frac{tan ( α )}{1} - \frac{1}{sin ( α )}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

tan (α), 1, sin (α) : tan (α) sin (α)

tan (α), 1, sin (α)

kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

Finde einen mathematischen Ausdruck, der aus Faktoren besteht, die in mindestens einem der faktoriserten Ausdrücke vorkommt.

= tan (α) sin (α)

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

tan (α) sin (α)

Für

\frac{1}{tan ( α )} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

sin (α)

\frac{1}{tan ( α )} = \frac{1 \cdot sin ( α )}{tan ( α ) sin ( α )} = \frac{sin ( α )}{tan ( α ) sin ( α )}

Für

\frac{tan ( α )}{1} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

tan (α) sin (α)

\frac{tan ( α )}{1} = \frac{tan ( α ) tan ( α ) sin ( α )}{1 \cdot tan ( α ) sin ( α )} = \frac{tan ^{2} ( α ) sin ( α )}{tan ( α ) sin ( α )}

Für

\frac{1}{sin ( α )} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

tan (α)

\frac{1}{sin ( α )} = \frac{1 \cdot tan ( α )}{sin ( α ) tan ( α )} = \frac{tan ( α )}{tan ( α ) sin ( α )}

= \frac{sin ( α )}{tan ( α ) sin ( α )} + \frac{tan ^{2} ( α ) sin ( α )}{tan ( α ) sin ( α )} - \frac{tan ( α )}{tan ( α ) sin ( α )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ( α ) + tan ^{2} ( α ) sin ( α ) - tan ( α )}{tan ( α ) sin ( α )}

\frac{sin ( α ) + tan ^{2} ( α ) sin ( α ) - tan ( α )}{tan ( α ) sin ( α )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

sin (α) + tan^{2} (α) sin (α) - tan (α) = 0

Drücke mit sin, cos aus

sin (α) - tan (α) + sin (α) tan^{2} (α)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= sin (α) - \frac{sin ( α )}{cos ( α )} + sin (α) (\frac{sin ( α )}{cos ( α )})^{2}

Vereinfache

sin (α) - \frac{sin ( α )}{cos ( α )} + sin (α) (\frac{sin ( α )}{cos ( α )})^{2} : \frac{cos ^{2} ( α ) sin ( α ) - sin ( α ) cos ( α ) + sin ^{3} ( α )}{cos ^{2} ( α )}

sin (α) - \frac{sin ( α )}{cos ( α )} + sin (α) (\frac{sin ( α )}{cos ( α )})^{2}

sin (α) (\frac{sin ( α )}{cos ( α )})^{2} = \frac{sin ^{3} ( α )}{cos ^{2} ( α )}

sin (α) (\frac{sin ( α )}{cos ( α )})^{2}

(\frac{sin ( α )}{cos ( α )})^{2} = \frac{sin ^{2} ( α )}{cos ^{2} ( α )}

(\frac{sin ( α )}{cos ( α )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{sin ^{2} ( α )}{cos ^{2} ( α )}

= \frac{sin ^{2} ( α )}{cos ^{2} ( α )} sin (α)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ^{2} ( α ) sin ( α )}{cos ^{2} ( α )}

sin^{2} (α) sin (α) = sin^{3} (α)

sin^{2} (α) sin (α)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin^{2} (α) sin (α) = sin^{2 + 1} (α)

= sin^{2 + 1} (α)

Addiere die Zahlen:

2 + 1 = 3

= sin^{3} (α)

= \frac{sin ^{3} ( α )}{cos ^{2} ( α )}

= sin (α) - \frac{sin ( α )}{cos ( α )} + \frac{sin ^{3} ( α )}{cos ^{2} ( α )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

sin (α) = \frac{sin ( α )}{1}

= \frac{sin ( α )}{1} - \frac{sin ( α )}{cos ( α )} + \frac{sin ^{3} ( α )}{cos ^{2} ( α )}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

1, cos (α), cos^{2} (α) : cos^{2} (α)

1, cos (α), cos^{2} (α)

kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

Finde einen mathematischen Ausdruck, der aus Faktoren besteht, die in mindestens einem der faktoriserten Ausdrücke vorkommt.

= cos^{2} (α)

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

cos^{2} (α)

Für

\frac{sin ( α )}{1} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

cos^{2} (α)

\frac{sin ( α )}{1} = \frac{sin ( α ) cos ^{2} ( α )}{1 \cdot cos ^{2} ( α )} = \frac{sin ( α ) cos ^{2} ( α )}{cos ^{2} ( α )}

Für

\frac{sin ( α )}{cos ( α )} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

cos (α)

\frac{sin ( α )}{cos ( α )} = \frac{sin ( α ) cos ( α )}{cos ( α ) cos ( α )} = \frac{sin ( α ) cos ( α )}{cos ^{2} ( α )}

= \frac{sin ( α ) cos ^{2} ( α )}{cos ^{2} ( α )} - \frac{sin ( α ) cos ( α )}{cos ^{2} ( α )} + \frac{sin ^{3} ( α )}{cos ^{2} ( α )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ( α ) cos ^{2} ( α ) - sin ( α ) cos ( α ) + sin ^{3} ( α )}{cos ^{2} ( α )}

= \frac{cos ^{2} ( α ) sin ( α ) - sin ( α ) cos ( α ) + sin ^{3} ( α )}{cos ^{2} ( α )}

\frac{sin ^{3} ( α ) - cos ( α ) sin ( α ) + cos ^{2} ( α ) sin ( α )}{cos ^{2} ( α )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

sin^{3} (α) - cos (α) sin (α) + cos^{2} (α) sin (α) = 0

Faktorisiere

sin^{3} (α) - cos (α) sin (α) + cos^{2} (α) sin (α) : sin (α) (sin^{2} (α) - cos (α) + cos^{2} (α))

sin^{3} (α) - cos (α) sin (α) + cos^{2} (α) sin (α)

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

sin^{3} (α) = sin (α) sin^{2} (α)

= sin (α) sin^{2} (α) - sin (α) cos (α) + sin (α) cos^{2} (α)

Klammere gleiche Terme aus

sin (α)

= sin (α) (sin^{2} (α) - cos (α) + cos^{2} (α))

sin (α) (sin^{2} (α) - cos (α) + cos^{2} (α)) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

sin (α) (sin^{2} (α) - cos (α) + cos^{2} (α))

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= sin (α) (- cos (α) + 1)

sin (α) (- cos (α) + 1) = 0

Löse jeden Teil einzeln

sin (α) = 0 or - cos (α) + 1 = 0

sin (α) = 0 : α = 2 πn, α = π + 2 πn

sin (α) = 0

Allgemeine Lösung für

sin (α) = 0

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

α = 0 + 2 πn, α = π + 2 πn

α = 0 + 2 πn, α = π + 2 πn

Löse

α = 0 + 2 πn : α = 2 πn

α = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

α = 2 πn

α = 2 πn, α = π + 2 πn

- cos (α) + 1 = 0 : α = 2 πn

- cos (α) + 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

- cos (α) + 1 = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

- cos (α) + 1 - 1 = 0 - 1

Vereinfache

- cos (α) = - 1

- cos (α) = - 1

Teile beide Seiten durch

- 1

- cos (α) = - 1

Teile beide Seiten durch

- 1

\frac{- cos ( α )}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}

Vereinfache

cos (α) = 1

cos (α) = 1

Allgemeine Lösung für

cos (α) = 1

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

α = 0 + 2 πn

α = 0 + 2 πn

Löse

α = 0 + 2 πn : α = 2 πn

α = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

α = 2 πn

α = 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

α = 2 πn, α = π + 2 πn

Da die Gleichung undefiniert ist für:

2 πn, π + 2 πn

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r α \in R

Graph

Beliebte Beispiele

8sin^2(x)-1=5

8 sin^{2} (x) - 1 = 5

csc(θ)= 17/8

csc (θ) = \frac{17}{8}

cos(x)= 60/61 ,cos(2x)

cos (x) = \frac{60}{61}, cos (2 x)

cos(b)=0.47

cos (b) = 0.47

tan^2(x)-4sec(x)=4

tan^{2} (x) - 4 sec (x) = 4