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Beliebt Trigonometrie >

5sec^2(x)-14tan(x)=8

Lösung

5 sec^{2} (x) - 14 tan (x) = 8

Lösung

x = 1.24904 \dots + πn, x = - 0.19739 \dots + πn

Grad

x = 71.56505 \dots^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = - 11.30993 \dots^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

5 sec^{2} (x) - 14 tan (x) = 8

Subtrahiere

8

von beiden Seiten

5 sec^{2} (x) - 14 tan (x) - 8 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 8 - 14 tan (x) + 5 sec^{2} (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

sec^{2} (x) = tan^{2} (x) + 1

= - 8 - 14 tan (x) + 5 (tan^{2} (x) + 1)

Vereinfache

- 8 - 14 tan (x) + 5 (tan^{2} (x) + 1) : 5 tan^{2} (x) - 14 tan (x) - 3

- 8 - 14 tan (x) + 5 (tan^{2} (x) + 1)

Multipliziere aus

5 (tan^{2} (x) + 1) : 5 tan^{2} (x) + 5

5 (tan^{2} (x) + 1)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b + c) = ab + a c

a = 5, b = tan^{2} (x), c = 1

= 5 tan^{2} (x) + 5 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

5 \cdot 1 = 5

= 5 tan^{2} (x) + 5

= - 8 - 14 tan (x) + 5 tan^{2} (x) + 5

Vereinfache

- 8 - 14 tan (x) + 5 tan^{2} (x) + 5 : 5 tan^{2} (x) - 14 tan (x) - 3

- 8 - 14 tan (x) + 5 tan^{2} (x) + 5

Fasse gleiche Terme zusammen

= - 14 tan (x) + 5 tan^{2} (x) - 8 + 5

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 8 + 5 = - 3

= 5 tan^{2} (x) - 14 tan (x) - 3

= 5 tan^{2} (x) - 14 tan (x) - 3

= 5 tan^{2} (x) - 14 tan (x) - 3

- 3 - 14 tan (x) + 5 tan^{2} (x) = 0

Löse mit Substitution

- 3 - 14 tan (x) + 5 tan^{2} (x) = 0

Angenommen:

tan (x) = u

- 3 - 14 u + 5 u^{2} = 0

- 3 - 14 u + 5 u^{2} = 0 : u = 3, u = - \frac{1}{5}

- 3 - 14 u + 5 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

5 u^{2} - 14 u - 3 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

5 u^{2} - 14 u - 3 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 5, b = - 14, c = - 3

u_{1, 2} = \frac{- ( - 14 ) \pm ( - 14 ) ^{2} - 4 \cdot 5 ( - 3 )}{2 \cdot 5}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 14 ) \pm ( - 14 ) ^{2} - 4 \cdot 5 ( - 3 )}{2 \cdot 5}

(- 14)^{2} - 4 \cdot 5 (- 3) = 16

(- 14)^{2} - 4 \cdot 5 (- 3)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 14)^{2} + 4 \cdot 5 \cdot 3

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 14)^{2} = 1 4^{2}

= 1 4^{2} + 4 \cdot 5 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 5 \cdot 3 = 60

= 1 4^{2} + 60

1 4^{2} = 196

= 196 + 60

Addiere die Zahlen:

196 + 60 = 256

= 256

Faktorisiere die Zahl:

256 = 1 6^{2}

= 1 6^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

1 6^{2} = 16

= 16

u_{1, 2} = \frac{- ( - 14 ) \pm 16}{2 \cdot 5}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 14 ) + 16}{2 \cdot 5}, u_{2} = \frac{- ( - 14 ) - 16}{2 \cdot 5}

u = \frac{- ( - 14 ) + 16}{2 \cdot 5} : 3

\frac{- ( - 14 ) + 16}{2 \cdot 5}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{14 + 16}{2 \cdot 5}

Addiere die Zahlen:

14 + 16 = 30

= \frac{30}{2 \cdot 5}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 5 = 10

= \frac{30}{10}

Teile die Zahlen:

\frac{30}{10} = 3

= 3

u = \frac{- ( - 14 ) - 16}{2 \cdot 5} : - \frac{1}{5}

\frac{- ( - 14 ) - 16}{2 \cdot 5}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{14 - 16}{2 \cdot 5}

Subtrahiere die Zahlen:

14 - 16 = - 2

= \frac{- 2}{2 \cdot 5}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 5 = 10

= \frac{- 2}{10}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2}{10}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= - \frac{1}{5}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 3, u = - \frac{1}{5}

Setze in

u = tan (x)

ein

tan (x) = 3, tan (x) = - \frac{1}{5}

tan (x) = 3, tan (x) = - \frac{1}{5}

tan (x) = 3 : x = arctan (3) + πn

tan (x) = 3

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

tan (x) = 3

Allgemeine Lösung für

tan (x) = 3

tan (x) = a \Rightarrow x = arctan (a) + πn

x = arctan (3) + πn

x = arctan (3) + πn

tan (x) = - \frac{1}{5} : x = arctan (- \frac{1}{5}) + πn

tan (x) = - \frac{1}{5}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

tan (x) = - \frac{1}{5}

Allgemeine Lösung für

tan (x) = - \frac{1}{5}

tan (x) = - a \Rightarrow x = arctan (- a) + πn

x = arctan (- \frac{1}{5}) + πn

x = arctan (- \frac{1}{5}) + πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arctan (3) + πn, x = arctan (- \frac{1}{5}) + πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 1.24904 \dots + πn, x = - 0.19739 \dots + πn

Graph

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