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(625^{cos^2(x)})/(25^{cos(x))}=1

Solução

\frac{62 5 ^{c o s^{2} (x)}}{2 5 ^{c o s (x)}} = 1

Solução

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Graus

x = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 30 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Passos da solução

\frac{62 5 ^{c o s^{2} (x)}}{2 5 ^{c o s (x)}} = 1

Usando o método de substituição

\frac{62 5 ^{c o s^{2} (x)}}{2 5 ^{c o s (x)}} = 1

Sea:

cos (x) = u

\frac{62 5 ^{u^{2}}}{2 5 ^{u}} = 1

\frac{62 5 ^{u^{2}}}{2 5 ^{u}} = 1 : u = 0, u = \frac{1}{2}

\frac{62 5 ^{u^{2}}}{2 5 ^{u}} = 1

Aplicar as propriedades dos expoentes

\frac{62 5 ^{u^{2}}}{2 5 ^{u}} = 1

Aplicar as propriedades dos expoentes:

\frac{1}{a ^{b}} = a^{- b}

\frac{1}{2 5 ^{u}} = 2 5^{- u}

62 5^{u^{2}} \cdot 2 5^{- u} = 1

Converter para a base

25 : 2 5^{2 u^{2}} \cdot 2 5^{- u} = 1

Converter

625

para a base

25

625 = 2 5^{2}

(2 5^{2})^{u^{2}} \cdot 2 5^{- u} = 1

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

(2 5^{2})^{u^{2}} = 2 5^{2 u^{2}}

2 5^{2 u^{2}} \cdot 2 5^{- u} = 1

2 5^{2 u^{2}} \cdot 2 5^{- u} = 1

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

2 5^{2 u^{2}} \cdot 2 5^{- u} = 2 5^{2 u^{2} - u}

2 5^{2 u^{2} - u} = 1

f (x) = g (x)

, então

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (2 5^{2 u^{2} - u}) = ln (1)

Aplicar as propriedades dos logaritmos:

ln (x^{a}) = a \cdot ln (x)

ln (2 5^{2 u^{2} - u}) = (2 u^{2} - u) ln (25)

(2 u^{2} - u) ln (25) = ln (1)

(2 u^{2} - u) ln (25) = ln (1)

Resolver

(2 u^{2} - u) ln (25) = ln (1) : u = 0, u = \frac{1}{2}

(2 u^{2} - u) ln (25) = ln (1)

Fatorar

(2 u^{2} - u) ln (25) : 2 ln (5) u (2 u - 1)

(2 u^{2} - u) ln (25)

Fatorar

2 u^{2} - u : u (2 u - 1)

2 u^{2} - u

Fatorar o termo comum

u : u (2 u - 1)

2 u^{2} - u

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 2 uu - u

Fatorar o termo comum

u

= u (2 u - 1)

= u (2 u - 1)

= u (2 u - 1) ln (25)

Simplificar

ln (25) : 2 ln (5)

ln (25)

Reescrever

25

utilizando potências:

25 = 5^{2}

= ln (5^{2})

Aplicar as propriedades dos logaritmos:

lo g_{a} (x^{b}) = b \cdot lo g_{a} (x)

ln (5^{2}) = 2 ln (5)

= 2 ln (5)

= 2 ln (5) u (2 u - 1)

2 ln (5) u (2 u - 1) = ln (1)

Usando o princípio do fator zero: Se

ab = 0

então

a = 0

b = 0

u = 0 or 2 u - 1 = 0

Resolver

2 u - 1 = 0 : u = \frac{1}{2}

2 u - 1 = 0

Mova

1

para o lado direito

2 u - 1 = 0

Adicionar

1

a ambos os lados

2 u - 1 + 1 = 0 + 1

Simplificar

2 u = 1

2 u = 1

Dividir ambos os lados por

2

2 u = 1

Dividir ambos os lados por

2

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

Simplificar

u = \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}

As soluções para a equação de segundo grau são:

u = 0, u = \frac{1}{2}

u = 0, u = \frac{1}{2}

Verifique soluções:

u = 0

Verdadeiro

, u = \frac{1}{2}

Verdadeiro

Verificar as soluções inserindo-as em

\frac{62 5 ^{u^{2}}}{2 5 ^{u}} = 1

Eliminar aquelas que não estejam de acordo com a equação.

Inserir

u = 0 :

Verdadeiro

\frac{62 5 ^{0^{2}}}{2 5 ^{0}} = 1

\frac{62 5 ^{0^{2}}}{2 5 ^{0}} = 1

\frac{62 5 ^{0^{2}}}{2 5 ^{0}}

Aplicar a regra

0^{a} = 0

0^{2} = 0

= \frac{62 5 ^{0}}{2 5 ^{0}}

Aplicar a regra

a^{0} = 1, a \neq = 0

2 5^{0} = 1

= \frac{62 5 ^{0}}{1}

Aplicar a regra

a^{0} = 1, a \neq = 0

= \frac{1}{1}

Aplicar a regra

\frac{a}{1} = a

= 1

1 = 1

Verdadeiro

Inserir

u = \frac{1}{2} :

Verdadeiro

\frac{62 5 ^{(\frac{1}{2})^{2}}}{2 5 ^{(\frac{1}{2})}} = 1

\frac{62 5 ^{(\frac{1}{2})^{2}}}{2 5 ^{(\frac{1}{2})}} = 1

\frac{62 5 ^{(\frac{1}{2})^{2}}}{2 5 ^{\frac{1}{2}}}

2 5^{\frac{1}{2}} = 5

2 5^{\frac{1}{2}}

Fatorar o número:

25 = 5^{2}

= (5^{2})^{\frac{1}{2}}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

(5^{2})^{\frac{1}{2}} = 5^{2 \cdot \frac{1}{2}} = 5

= 5

= \frac{62 5 ^{(\frac{1}{2})^{2}}}{5}

62 5^{(\frac{1}{2})^{2}} = 62 5^{\frac{1}{2 ^{2}}}

62 5^{(\frac{1}{2})^{2}}

(\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{2 ^{2}}

(\frac{1}{2})^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{2 ^{2}}

Aplicar a regra

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{2 ^{2}}

= 62 5^{\frac{1}{2 ^{2}}}

= \frac{62 5 ^{\frac{1}{2 ^{2}}}}{5}

2^{2} = 4

= \frac{62 5 ^{\frac{1}{4}}}{5}

62 5^{\frac{1}{4}} = 5

62 5^{\frac{1}{4}}

Fatorar o número:

625 = 5^{4}

= (5^{4})^{\frac{1}{4}}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

(5^{4})^{\frac{1}{4}} = 5^{4 \cdot \frac{1}{4}} = 5

= 5

= \frac{5}{5}

Aplicar a regra

\frac{a}{a} = 1

= 1

1 = 1

Verdadeiro

As soluções são

u = 0, u = \frac{1}{2}

Substituir na equação

u = cos (x)

cos (x) = 0, cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x) = 0, cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x) = 0 : x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (x) = 0

Soluções gerais para

cos (x) = 0

cos (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (x) = \frac{1}{2} : x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (x) = \frac{1}{2}

Soluções gerais para

cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Combinar toda as soluções

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Gráfico

Exemplos populares

2cos(x)-3sec(x)=5

2 cos (x) - 3 sec (x) = 5

cos(2x)=1-2sin(x),0<= x<2pi

cos (2 x) = 1 - 2 sin (x), 0 \leq x < 2 π

9cos^2(x)-18cos(x)+9=0

9 cos^{2} (x) - 18 cos (x) + 9 = 0

sin(a)=-5/13

sin (a) = - \frac{5}{13}

sin(x)= 13/14

sin (x) = \frac{13}{14}