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Popolare Trigonometria >

cos(2x)=sin(x-pi/4)

Soluzione

cos (2 x) = sin (x - \frac{π}{4})

Soluzione

x = \frac{π}{4} + πn, x = 2 πn + \frac{11 π}{12}, x = 2 πn + \frac{19 π}{12}

Gradi

x = 4 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = 16 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 28 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Fasi della soluzione

cos (2 x) = sin (x - \frac{π}{4})

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

cos (2 x) = sin (x - \frac{π}{4})

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

sin (x - \frac{π}{4})

Usa la formula della differenza degli angoli:

sin (s - t) = sin (s) cos (t) - cos (s) sin (t)

= sin (x) cos (\frac{π}{4}) - cos (x) sin (\frac{π}{4})

Semplifica

sin (x) cos (\frac{π}{4}) - cos (x) sin (\frac{π}{4}) : \frac{2 sin ( x ) - 2 cos ( x )}{2}

sin (x) cos (\frac{π}{4}) - cos (x) sin (\frac{π}{4})

sin (x) cos (\frac{π}{4}) = \frac{2 sin ( x )}{2}

sin (x) cos (\frac{π}{4})

Semplifica

cos (\frac{π}{4}) : \frac{2}{2}

cos (\frac{π}{4})

Usare la seguente identità triviale:

cos (\frac{π}{4}) = \frac{2}{2}

cos (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= \frac{2}{2}

= \frac{2}{2} sin (x)

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 sin ( x )}{2}

cos (x) sin (\frac{π}{4}) = \frac{2 cos ( x )}{2}

cos (x) sin (\frac{π}{4})

Semplifica

sin (\frac{π}{4}) : \frac{2}{2}

sin (\frac{π}{4})

Usare la seguente identità triviale:

sin (\frac{π}{4}) = \frac{2}{2}

sin (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

= \frac{2}{2}

= \frac{2}{2} cos (x)

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 cos ( x )}{2}

= \frac{2 sin ( x )}{2} - \frac{2 cos ( x )}{2}

Applicare la regola

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 sin ( x ) - 2 cos ( x )}{2}

= \frac{2 sin ( x ) - 2 cos ( x )}{2}

cos (2 x) = \frac{2 sin ( x ) - 2 cos ( x )}{2}

Semplifica

\frac{2 sin ( x ) - 2 cos ( x )}{2} : \frac{sin ( x ) - cos ( x )}{2}

\frac{2 sin ( x ) - 2 cos ( x )}{2}

Fattorizzare dal termine comune

2

= \frac{2 ( sin ( x ) - cos ( x ) )}{2}

Cancellare

\frac{2 ( sin ( x ) - cos ( x ) )}{2} : \frac{sin ( x ) - cos ( x )}{2}

\frac{2 ( sin ( x ) - cos ( x ) )}{2}

Applicare la regola della radice:

n a = a^{\frac{1}{n}}

2 = 2^{\frac{1}{2}}

= \frac{2 ^{\frac{1}{2}} ( sin ( x ) - cos ( x ) )}{2}

Applica la regola degli esponenti:

\frac{x ^{a}}{x ^{b}} = \frac{1}{x ^{b - a}}

\frac{2 ^{\frac{1}{2}}}{2 ^{1}} = \frac{1}{2 ^{1 - \frac{1}{2}}}

= \frac{sin ( x ) - cos ( x )}{2 ^{1 - \frac{1}{2}}}

Sottrai i numeri:

1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

= \frac{sin ( x ) - cos ( x )}{2 ^{\frac{1}{2}}}

Applicare la regola della radice:

a^{\frac{1}{n}} = n a

2^{\frac{1}{2}} = 2

= \frac{sin ( x ) - cos ( x )}{2}

= \frac{sin ( x ) - cos ( x )}{2}

cos (2 x) = \frac{sin ( x ) - cos ( x )}{2}

cos (2 x) = \frac{sin ( x ) - cos ( x )}{2}

Sottrarre

\frac{sin ( x ) - cos ( x )}{2}

da entrambi i lati

cos (2 x) - \frac{sin ( x ) - cos ( x )}{2} = 0

Semplifica

cos (2 x) - \frac{sin ( x ) - cos ( x )}{2} : \frac{2 cos ( 2 x ) - sin ( x ) + cos ( x )}{2}

cos (2 x) - \frac{sin ( x ) - cos ( x )}{2}

Converti l'elemento in frazione:

cos (2 x) = \frac{cos ( 2 x ) 2}{2}

= \frac{cos ( 2 x ) 2}{2} - \frac{sin ( x ) - cos ( x )}{2}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ( 2 x ) 2 - ( sin ( x ) - cos ( x ) )}{2}

Espandi

cos (2 x) 2 - (sin (x) - cos (x)) : cos (2 x) 2 - sin (x) + cos (x)

cos (2 x) 2 - (sin (x) - cos (x))

= 2 cos (2 x) - (sin (x) - cos (x))

- (sin (x) - cos (x)) : - sin (x) + cos (x)

- (sin (x) - cos (x))

Distribuire le parentesi

= - (sin (x)) - (- cos (x))

Applicare le regole di sottrazione-addizione

- (- a) = a, - (a) = - a

= - sin (x) + cos (x)

= cos (2 x) 2 - sin (x) + cos (x)

= \frac{2 cos ( 2 x ) - sin ( x ) + cos ( x )}{2}

\frac{2 cos ( 2 x ) - sin ( x ) + cos ( x )}{2} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

2 cos (2 x) - sin (x) + cos (x) = 0

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

cos (x) - sin (x) + cos (2 x) 2

Usare l'Identità Doppio Angolo:

cos (2 x) = cos^{2} (x) - sin^{2} (x)

= cos (x) - sin (x) + 2 (cos^{2} (x) - sin^{2} (x))

cos (x) - sin (x) + (cos^{2} (x) - sin^{2} (x)) 2 = 0

Fattorizza

cos (x) - sin (x) + (cos^{2} (x) - sin^{2} (x)) 2 : (cos (x) - sin (x)) (2 (cos (x) + sin (x)) + 1)

cos (x) - sin (x) + (cos^{2} (x) - sin^{2} (x)) 2

Fattorizza

cos^{2} (x) - sin^{2} (x) : (cos (x) + sin (x)) (cos (x) - sin (x))

cos^{2} (x) - sin^{2} (x)

Applicare la formula differenza di due quadrati:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

cos^{2} (x) - sin^{2} (x) = (cos (x) + sin (x)) (cos (x) - sin (x))

= (cos (x) + sin (x)) (cos (x) - sin (x))

= cos (x) - sin (x) + 2 (cos (x) + sin (x)) (cos (x) - sin (x))

Riscrivi come

= (cos (x) - sin (x)) (cos (x) + sin (x)) 2 + 1 \cdot (cos (x) - sin (x))

Fattorizzare dal termine comune

(cos (x) - sin (x))

= (cos (x) - sin (x)) ((cos (x) + sin (x)) 2 + 1)

(cos (x) - sin (x)) (2 (cos (x) + sin (x)) + 1) = 0

Risolvere ogni parte separatamente

cos (x) - sin (x) = 0 or 2 (cos (x) + sin (x)) + 1 = 0

cos (x) - sin (x) = 0 : x = \frac{π}{4} + πn

cos (x) - sin (x) = 0

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

cos (x) - sin (x) = 0

Dividere entrambi lati per

\frac{cos ( x ) - sin ( x )}{cos ( x )} = \frac{0}{cos ( x )}

Semplificare

1 - \frac{sin ( x )}{cos ( x )} = 0

Usare l'identità trigonometrica di base:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

1 - tan (x) = 0

1 - tan (x) = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

1 - tan (x) = 0

Sottrarre

1

da entrambi i lati

1 - tan (x) - 1 = 0 - 1

Semplificare

- tan (x) = - 1

- tan (x) = - 1

Dividere entrambi i lati per

- 1

- tan (x) = - 1

Dividere entrambi i lati per

- 1

\frac{- tan ( x )}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}

Semplificare

tan (x) = 1

tan (x) = 1

Soluzioni generali per

tan (x) = 1

tan (x)

periodicità tabella con

πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

x = \frac{π}{4} + πn

x = \frac{π}{4} + πn

2 (cos (x) + sin (x)) + 1 = 0 : x = 2 πn + \frac{11 π}{12}, x = 2 πn + \frac{19 π}{12}

2 (cos (x) + sin (x)) + 1 = 0

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

2 (cos (x) + sin (x)) + 1

sin (x) + cos (x) = 2 sin (x + \frac{π}{4})

sin (x) + cos (x)

Riscrivi come

= 2 (\frac{1}{2} sin (x) + \frac{1}{2} cos (x))

Usa l'identità triviale seguente:

cos (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2}

Usa l'identità triviale seguente:

sin (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2}

= 2 (cos (\frac{π}{4}) sin (x) + sin (\frac{π}{4}) cos (x))

Usa la formula della somma degli angoli:

sin (s + t) = sin (s) cos (t) + cos (s) sin (t)

= 2 sin (x + \frac{π}{4})

= 1 + 22 sin (x + \frac{π}{4})

1 + 22 sin (x + \frac{π}{4}) = 0

Applicare la regola della radice:

a a = a

22 = 2

1 + 2 sin (x + \frac{π}{4}) = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

1 + 2 sin (x + \frac{π}{4}) = 0

Sottrarre

1

da entrambi i lati

1 + 2 sin (x + \frac{π}{4}) - 1 = 0 - 1

Semplificare

2 sin (x + \frac{π}{4}) = - 1

2 sin (x + \frac{π}{4}) = - 1

Dividere entrambi i lati per

2

2 sin (x + \frac{π}{4}) = - 1

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 sin ( x + \frac{π}{4} )}{2} = \frac{- 1}{2}

Semplificare

sin (x + \frac{π}{4}) = - \frac{1}{2}

sin (x + \frac{π}{4}) = - \frac{1}{2}

Soluzioni generali per

sin (x + \frac{π}{4}) = - \frac{1}{2}

sin (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x + \frac{π}{4} = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x + \frac{π}{4} = \frac{11 π}{6} + 2 πn

x + \frac{π}{4} = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x + \frac{π}{4} = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Risolvi

x + \frac{π}{4} = \frac{7 π}{6} + 2 πn : x = 2 πn + \frac{11 π}{12}

x + \frac{π}{4} = \frac{7 π}{6} + 2 πn

Spostare

\frac{π}{4}

a destra dell'equazione

x + \frac{π}{4} = \frac{7 π}{6} + 2 πn

Sottrarre

\frac{π}{4}

da entrambi i lati

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} = \frac{7 π}{6} + 2 πn - \frac{π}{4}

Semplificare

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} = \frac{7 π}{6} + 2 πn - \frac{π}{4}

Semplificare

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} : x

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4}

Aggiungi elementi simili:

\frac{π}{4} - \frac{π}{4} = 0

= x

Semplificare

\frac{7 π}{6} + 2 πn - \frac{π}{4} : 2 πn + \frac{11 π}{12}

\frac{7 π}{6} + 2 πn - \frac{π}{4}

Raggruppa termini simili

= 2 πn - \frac{π}{4} + \frac{7 π}{6}

Minimo Comune Multiplo di

4, 6 : 12

4, 6

Minimo Comune Multiplo (mcm)

Fattorizzazione prima di

4 : 2 \cdot 2

4

4

diviso per

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2

Fattorizzazione prima di

6 : 2 \cdot 3

6

6

diviso per

26 = 3 \cdot 2

= 2 \cdot 3

2, 3

sono tutti numeri primi, quindi non è possibile ulteriore fattorizzazione

= 2 \cdot 3

Moltiplica ogni fattore per il numero massimo di volte in cui si presenta in 4 o 6

= 2 \cdot 2 \cdot 3

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 2 \cdot 3 = 12

= 12

Adeguare le frazioni in base al minimo comune multiplo (mcm)

Moltiplicare ogni numeratore per la stessa quantità necessaria a moltiplicare il suo

corrispondente denominatore per trasformarlo in mcm

12

Per

\frac{π}{4} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

3

\frac{π}{4} = \frac{π 3}{4 \cdot 3} = \frac{π 3}{12}

Per

\frac{7 π}{6} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

2

\frac{7 π}{6} = \frac{7 π 2}{6 \cdot 2} = \frac{14 π}{12}

= - \frac{π 3}{12} + \frac{14 π}{12}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π 3 + 14 π}{12}

Aggiungi elementi simili:

- 3 π + 14 π = 11 π

= 2 πn + \frac{11 π}{12}

x = 2 πn + \frac{11 π}{12}

x = 2 πn + \frac{11 π}{12}

x = 2 πn + \frac{11 π}{12}

Risolvi

x + \frac{π}{4} = \frac{11 π}{6} + 2 πn : x = 2 πn + \frac{19 π}{12}

x + \frac{π}{4} = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Spostare

\frac{π}{4}

a destra dell'equazione

x + \frac{π}{4} = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Sottrarre

\frac{π}{4}

da entrambi i lati

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} = \frac{11 π}{6} + 2 πn - \frac{π}{4}

Semplificare

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} = \frac{11 π}{6} + 2 πn - \frac{π}{4}

Semplificare

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} : x

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4}

Aggiungi elementi simili:

\frac{π}{4} - \frac{π}{4} = 0

= x

Semplificare

\frac{11 π}{6} + 2 πn - \frac{π}{4} : 2 πn + \frac{19 π}{12}

\frac{11 π}{6} + 2 πn - \frac{π}{4}

Raggruppa termini simili

= 2 πn - \frac{π}{4} + \frac{11 π}{6}

Minimo Comune Multiplo di

4, 6 : 12

4, 6

Minimo Comune Multiplo (mcm)

Fattorizzazione prima di

4 : 2 \cdot 2

4

4

diviso per

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2

Fattorizzazione prima di

6 : 2 \cdot 3

6

6

diviso per

26 = 3 \cdot 2

= 2 \cdot 3

2, 3

sono tutti numeri primi, quindi non è possibile ulteriore fattorizzazione

= 2 \cdot 3

Moltiplica ogni fattore per il numero massimo di volte in cui si presenta in 4 o 6

= 2 \cdot 2 \cdot 3

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 2 \cdot 3 = 12

= 12

Adeguare le frazioni in base al minimo comune multiplo (mcm)

Moltiplicare ogni numeratore per la stessa quantità necessaria a moltiplicare il suo

corrispondente denominatore per trasformarlo in mcm

12

Per

\frac{π}{4} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

3

\frac{π}{4} = \frac{π 3}{4 \cdot 3} = \frac{π 3}{12}

Per

\frac{11 π}{6} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

2

\frac{11 π}{6} = \frac{11 π 2}{6 \cdot 2} = \frac{22 π}{12}

= - \frac{π 3}{12} + \frac{22 π}{12}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π 3 + 22 π}{12}

Aggiungi elementi simili:

- 3 π + 22 π = 19 π

= 2 πn + \frac{19 π}{12}

x = 2 πn + \frac{19 π}{12}

x = 2 πn + \frac{19 π}{12}

x = 2 πn + \frac{19 π}{12}

x = 2 πn + \frac{11 π}{12}, x = 2 πn + \frac{19 π}{12}

Combinare tutte le soluzioni

x = \frac{π}{4} + πn, x = 2 πn + \frac{11 π}{12}, x = 2 πn + \frac{19 π}{12}

Grafico

Esempi popolari

sin(2x+60)+sin(x+30)=0,0<= x<= 2pi

sin (2 x + 60) + sin (x + 30) = 0, 0 \leq x \leq 2 π

2sin^2(u)=1+sin(u)

2 sin^{2} (u) = 1 + sin (u)

cos(x)= 9/17

cos (x) = \frac{9}{17}

-6sin(c)+0=sin(c)-3

- 6 sin (c) + 0 = sin (c) - 3

tan(x)= 11/12

tan (x) = \frac{11}{12}