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Beliebt Trigonometrie >

4cos(x)+3sin(x)=5

Lösung

4 cos (x) + 3 sin (x) = 5

Lösung

x = 0.64350 \dots + 2 πn

Grad

x = 36.86989 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

4 cos (x) + 3 sin (x) = 5

Subtrahiere

3 sin (x)

von beiden Seiten

4 cos (x) = 5 - 3 sin (x)

Quadriere beide Seiten

(4 cos (x))^{2} = (5 - 3 sin (x))^{2}

Subtrahiere

(5 - 3 sin (x))^{2}

von beiden Seiten

16 cos^{2} (x) - 25 + 30 sin (x) - 9 sin^{2} (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 25 + 16 cos^{2} (x) + 30 sin (x) - 9 sin^{2} (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - 25 + 16 (1 - sin^{2} (x)) + 30 sin (x) - 9 sin^{2} (x)

Vereinfache

- 25 + 16 (1 - sin^{2} (x)) + 30 sin (x) - 9 sin^{2} (x) : 30 sin (x) - 25 sin^{2} (x) - 9

- 25 + 16 (1 - sin^{2} (x)) + 30 sin (x) - 9 sin^{2} (x)

Multipliziere aus

16 (1 - sin^{2} (x)) : 16 - 16 sin^{2} (x)

16 (1 - sin^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 16, b = 1, c = sin^{2} (x)

= 16 \cdot 1 - 16 sin^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

16 \cdot 1 = 16

= 16 - 16 sin^{2} (x)

= - 25 + 16 - 16 sin^{2} (x) + 30 sin (x) - 9 sin^{2} (x)

Vereinfache

- 25 + 16 - 16 sin^{2} (x) + 30 sin (x) - 9 sin^{2} (x) : 30 sin (x) - 25 sin^{2} (x) - 9

- 25 + 16 - 16 sin^{2} (x) + 30 sin (x) - 9 sin^{2} (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - 16 sin^{2} (x) + 30 sin (x) - 9 sin^{2} (x) - 25 + 16

Addiere gleiche Elemente:

- 16 sin^{2} (x) - 9 sin^{2} (x) = - 25 sin^{2} (x)

= - 25 sin^{2} (x) + 30 sin (x) - 25 + 16

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 25 + 16 = - 9

= 30 sin (x) - 25 sin^{2} (x) - 9

= 30 sin (x) - 25 sin^{2} (x) - 9

= 30 sin (x) - 25 sin^{2} (x) - 9

- 9 - 25 sin^{2} (x) + 30 sin (x) = 0

Löse mit Substitution

- 9 - 25 sin^{2} (x) + 30 sin (x) = 0

Angenommen:

sin (x) = u

- 9 - 25 u^{2} + 30 u = 0

- 9 - 25 u^{2} + 30 u = 0 : u = \frac{3}{5}

- 9 - 25 u^{2} + 30 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 25 u^{2} + 30 u - 9 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 25 u^{2} + 30 u - 9 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 25, b = 30, c = - 9

u_{1, 2} = \frac{- 30 \pm 3 0 ^{2} - 4 ( - 25 ) ( - 9 )}{2 ( - 25 )}

u_{1, 2} = \frac{- 30 \pm 3 0 ^{2} - 4 ( - 25 ) ( - 9 )}{2 ( - 25 )}

3 0^{2} - 4 (- 25) (- 9) = 0

3 0^{2} - 4 (- 25) (- 9)

Wende Regel an

- (- a) = a

= 3 0^{2} - 4 \cdot 25 \cdot 9

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 25 \cdot 9 = 900

= 3 0^{2} - 900

3 0^{2} = 900

= 900 - 900

Subtrahiere die Zahlen:

900 - 900 = 0

= 0

u_{1, 2} = \frac{- 30 \pm 0}{2 ( - 25 )}

u = \frac{- 30}{2 ( - 25 )}

\frac{- 30}{2 ( - 25 )} = \frac{3}{5}

\frac{- 30}{2 ( - 25 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 30}{- 2 \cdot 25}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 25 = 50

= \frac{- 30}{- 50}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{30}{50}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

10

= \frac{3}{5}

u = \frac{3}{5}

Die Lösung für die quadratische Gleichung ist:

u = \frac{3}{5}

Setze in

u = sin (x)

ein

sin (x) = \frac{3}{5}

sin (x) = \frac{3}{5}

sin (x) = \frac{3}{5} : x = arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn

sin (x) = \frac{3}{5}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (x) = \frac{3}{5}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = \frac{3}{5}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn

x = arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

4 cos (x) + 3 sin (x) = 5

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn :

Wahr

arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arcsin (\frac{3}{5}) + 2 π 1

Setze

x = arcsin (\frac{3}{5}) + 2 π 1

4 cos (x) + 3 sin (x) = 5

ein, um zu lösen

4 cos (arcsin (\frac{3}{5}) + 2 π 1) + 3 sin (arcsin (\frac{3}{5}) + 2 π 1) = 5

Fasse zusammen

5 = 5

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn :

Falsch

π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 π 1

Setze

x = π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 π 1

4 cos (x) + 3 sin (x) = 5

ein, um zu lösen

4 cos (π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 π 1) + 3 sin (π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 π 1) = 5

Fasse zusammen

- 1.4 = 5

\Rightarrow Falsch

x = arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 0.64350 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

tan^2(θ)-sec^2(θ)=cos(-θ)

tan^{2} (θ) - sec^{2} (θ) = cos (- θ)

-2sin(t)-4cos(2t)=0

- 2 sin (t) - 4 cos (2 t) = 0

8sin(2x)-4sqrt(3)=0

8 sin (2 x) - 43 = 0

cos(3x)cos(9x)+sin(3x)sin(9x)=0

cos (3 x) cos (9 x) + sin (3 x) sin (9 x) = 0

cos(2x)+5sin(x)+2=0,0<= x<2pi

cos (2 x) + 5 sin (x) + 2 = 0, 0 \leq x < 2 π