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2cos^3(θ)=cos(θ)

Solution

2 cos^{3} (θ) = cos (θ)

Solution

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{4} + 2 πn, θ = \frac{π}{4} + 2 πn, θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Degrés

θ = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 13 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 22 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 4 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 31 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n

étapes des solutions

2 cos^{3} (θ) = cos (θ)

Résoudre par substitution

2 cos^{3} (θ) = cos (θ)

Soit :

cos (θ) = u

2 u^{3} = u

2 u^{3} = u : u = 0, u = - \frac{2}{2}, u = \frac{2}{2}

2 u^{3} = u

Déplacer

u

vers la gauche

2 u^{3} = u

Soustraire

u

des deux côtés

2 u^{3} - u = u - u

Simplifier

2 u^{3} - u = 0

2 u^{3} - u = 0

Factoriser

2 u^{3} - u : u (2 u + 1) (2 u - 1)

2 u^{3} - u

Factoriser le terme commun

u : u (2 u^{2} - 1)

2 u^{3} - u

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{3} = u^{2} u

= 2 u^{2} u - u

Factoriser le terme commun

u

= u (2 u^{2} - 1)

= u (2 u^{2} - 1)

Factoriser

2 u^{2} - 1 : (2 u + 1) (2 u - 1)

2 u^{2} - 1

Récrire

2 u^{2} - 1

comme

(2 u)^{2} - 1^{2}

2 u^{2} - 1

Appliquer la règle des radicaux:

a = (a)^{2}

2 = (2)^{2}

= (2)^{2} u^{2} - 1

Récrire

1

comme

1^{2}

= (2)^{2} u^{2} - 1^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

(2)^{2} u^{2} = (2 u)^{2}

= (2 u)^{2} - 1^{2}

= (2 u)^{2} - 1^{2}

Appliquer la formule de différence de deux carrés :

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(2 u)^{2} - 1^{2} = (2 u + 1) (2 u - 1)

= (2 u + 1) (2 u - 1)

= u (2 u + 1) (2 u - 1)

u (2 u + 1) (2 u - 1) = 0

En utilisant le principe du facteur zéro : Si

ab = 0

alors

a = 0

b = 0

u = 0 or 2 u + 1 = 0 or 2 u - 1 = 0

Résoudre

2 u + 1 = 0 : u = - \frac{2}{2}

2 u + 1 = 0

Déplacer

1

vers la droite

2 u + 1 = 0

Soustraire

1

des deux côtés

2 u + 1 - 1 = 0 - 1

Simplifier

2 u = - 1

2 u = - 1

Diviser les deux côtés par

2

2 u = - 1

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}

Simplifier

\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}

Simplifier

\frac{2 u}{2} : u

\frac{2 u}{2}

Annuler le facteur commun :

2

= u

Simplifier

\frac{- 1}{2} : - \frac{2}{2}

\frac{- 1}{2}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1}{2}

Simplifier

- \frac{1}{2} : - \frac{2}{2}

- \frac{1}{2}

Multiplier par le conjugué

\frac{2}{2}

= - \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Appliquer la règle des radicaux:

a a = a

22 = 2

= 2

= - \frac{2}{2}

= - \frac{2}{2}

u = - \frac{2}{2}

u = - \frac{2}{2}

u = - \frac{2}{2}

Résoudre

2 u - 1 = 0 : u = \frac{2}{2}

2 u - 1 = 0

Déplacer

1

vers la droite

2 u - 1 = 0

Ajouter

1

aux deux côtés

2 u - 1 + 1 = 0 + 1

Simplifier

2 u = 1

2 u = 1

Diviser les deux côtés par

2

2 u = 1

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

Simplifier

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

Simplifier

\frac{2 u}{2} : u

\frac{2 u}{2}

Annuler le facteur commun :

2

= u

Simplifier

\frac{1}{2} : \frac{2}{2}

\frac{1}{2}

Multiplier par le conjugué

\frac{2}{2}

= \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Appliquer la règle des radicaux:

a a = a

22 = 2

= 2

= \frac{2}{2}

u = \frac{2}{2}

u = \frac{2}{2}

u = \frac{2}{2}

Les solutions sont

u = 0, u = - \frac{2}{2}, u = \frac{2}{2}

Remplacer

u = cos (θ)

cos (θ) = 0, cos (θ) = - \frac{2}{2}, cos (θ) = \frac{2}{2}

cos (θ) = 0, cos (θ) = - \frac{2}{2}, cos (θ) = \frac{2}{2}

cos (θ) = 0 : θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (θ) = 0

Solutions générales pour

cos (θ) = 0

Tableau de périodicité

cos (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (θ) = - \frac{2}{2} : θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{4} + 2 πn

cos (θ) = - \frac{2}{2}

Solutions générales pour

cos (θ) = - \frac{2}{2}

Tableau de périodicité

cos (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{4} + 2 πn

θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{4} + 2 πn

cos (θ) = \frac{2}{2} : θ = \frac{π}{4} + 2 πn, θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn

cos (θ) = \frac{2}{2}

Solutions générales pour

cos (θ) = \frac{2}{2}

Tableau de périodicité

cos (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{π}{4} + 2 πn, θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn

θ = \frac{π}{4} + 2 πn, θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Combiner toutes les solutions

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{4} + 2 πn, θ = \frac{π}{4} + 2 πn, θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Exemples populaires

solvefor t,x=arccos(1/(sqrt(1+t^2)))résoudre pour

t, x = arccos (\frac{1}{1 + t ^{2}})

sin(x)*cos(x)=sin(2x)

sin (x) \cdot cos (x) = sin (2 x)

(1-sin(x))(1+cos(x))=cos^2(x)

(1 - sin (x)) (1 + cos (x)) = cos^{2} (x)

sin(θ)=(-1)/(sqrt(2)),0<= θ<= 4pi

sin (θ) = \frac{- 1}{2}, 0 \leq θ \leq 4 π

0=2cos(θ)

0 = 2 cos (θ)