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Beliebt Trigonometrie >

1/(2tan(18))

Lösung

\frac{1}{2 tan ( 1 8 ^{\circ} )}

Lösung

\frac{( 2 + 5 ) 5 - 2 5}{2}

Dezimale

1.53884 \dots

Schritte zur Lösung

\frac{1}{2 tan ( 1 8 ^{\circ} )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten:

tan (1 8^{\circ}) = \frac{5 - 2 5}{5}

tan (1 8^{\circ})

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten:

\frac{1 - cos ( 3 6 ^{\circ} )}{1 + cos ( 3 6 ^{\circ} )}

tan (1 8^{\circ})

Schreibe

tan (1 8^{\circ})

als

tan (\frac{3 6 ^{\circ}}{2})

= tan (\frac{3 6 ^{\circ}}{2})

Verwende die Halbwinkel Identität:

tan (\frac{θ}{2}) = \frac{1 - cos ( θ )}{1 + cos ( θ )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten:

tan^{2} (θ) = \frac{1 - cos ( 2 θ )}{1 + cos ( 2 θ )}

Verwende die folgenden Identitäten

tan (θ) = \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Quadriere beide Seiten

tan^{2} (θ) = \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten:

sin^{2} (θ) = \frac{1 - cos ( 2 θ )}{2}

Verwende die Doppelwinkelidentität

cos (2 θ) = 1 - 2 sin^{2} (θ)

Tausche die Seiten

2 sin^{2} (θ) - 1 = - cos (2 θ)

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

2 sin^{2} (θ) = 1 - cos (2 θ)

Teile beide Seiten durch

2

sin^{2} (θ) = \frac{1 - cos ( 2 θ )}{2}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten:

cos^{2} (θ) = \frac{1 + cos ( 2 θ )}{2}

Verwende die Doppelwinkelidentität

cos (2 θ) = 2 cos^{2} (θ) - 1

Tausche die Seiten

2 cos^{2} (θ) - 1 = cos (2 θ)

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

2 sin^{2} (θ) = 1 + cos (2 θ)

Teile beide Seiten durch

2

cos^{2} (θ) = \frac{1 + cos ( 2 θ )}{2}

tan^{2} (θ) = \frac{\frac{1 - c o s ( 2 θ )}{2}}{\frac{1 + c o s ( 2 θ )}{2}}

Vereinfache

tan^{2} (θ) = \frac{1 - cos ( 2 θ )}{1 + cos ( 2 θ )}

Ersetze

θ

mit

\frac{θ}{2}

tan^{2} (\frac{θ}{2}) = \frac{1 - cos ( 2 \cdot \frac{θ}{2} )}{1 + cos ( 2 \cdot \frac{θ}{2} )}

Vereinfache

tan^{2} (\frac{θ}{2}) = \frac{1 - cos ( θ )}{1 + cos ( θ )}

Square root both sides

Choose the root sign according to the quadrant of

\frac{θ}{2}

range [0, 9 0^{\circ}] [9 0^{\circ}, 18 0^{\circ}] quadrant I II tan positive negative

tan (\frac{θ}{2}) = \frac{1 - cos ( θ )}{1 + cos ( θ )}

= \frac{1 - cos ( 3 6 ^{\circ} )}{1 + cos ( 3 6 ^{\circ} )}

= \frac{1 - cos ( 3 6 ^{\circ} )}{1 + cos ( 3 6 ^{\circ} )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten:

cos (3 6^{\circ}) = \frac{5 + 1}{4}

cos (3 6^{\circ})

Zeige dass:

cos (3 6^{\circ}) - sin (1 8^{\circ}) = \frac{1}{2}

Verwende das folgende Produkt, um die Summe der Identitäten zu finden:

2 sin (x) cos (y) = sin (x + y) - sin (x - y)

2 cos (3 6^{\circ}) sin (1 8^{\circ}) = sin (5 4^{\circ}) - sin (1 8^{\circ})

Zeige dass:

2 cos (3 6^{\circ}) sin (1 8^{\circ}) = \frac{1}{2}

Verwende die Doppelwinkelidentität:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

sin (7 2^{\circ}) = 2 sin (3 6^{\circ}) cos (3 6^{\circ})

sin (7 2^{\circ}) sin (3 6^{\circ}) = 4 sin (3 6^{\circ}) sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ}) cos (1 8^{\circ})

Teile beide Seiten durch

sin (3 6^{\circ})

sin (7 2^{\circ}) = 4 sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ}) cos (1 8^{\circ})

Verwende die folgenden Identitäten:

sin (x) = cos (9 0^{\circ} - x)

sin (7 2^{\circ}) = cos (9 0^{\circ} - 7 2^{\circ})

cos (9 0^{\circ} - 7 2^{\circ}) = 4 sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ}) cos (1 8^{\circ})

cos (1 8^{\circ}) = 4 sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ}) cos (1 8^{\circ})

Teile beide Seiten durch

cos (1 8^{\circ})

1 = 4 sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ})

Teile beide Seiten durch

2

\frac{1}{2} = 2 sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ})

Ersetze

\frac{1}{2} = 2 sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ})

\frac{1}{2} = sin (5 4^{\circ}) - sin (1 8^{\circ})

sin (5 4^{\circ}) = cos (9 0^{\circ} - 5 4^{\circ})

\frac{1}{2} = cos (9 0^{\circ} - 5 4^{\circ}) - sin (1 8^{\circ})

\frac{1}{2} = cos (3 6^{\circ}) - sin (1 8^{\circ})

Zeige dass:

cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ}) = \frac{5}{4}

Wende die Faktorisierungsregel an:

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

a = cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ})

(cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ}))^{2} - (cos (3 6^{\circ}) - sin (1 8^{\circ}))^{2} = ((cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ})) + (cos (3 6^{\circ}) - sin (1 8^{\circ}))) ((cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ})) - (cos (3 6^{\circ}) - sin (1 8^{\circ})))

Fasse zusammen

(cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ}))^{2} - (cos (3 6^{\circ}) - sin (1 8^{\circ}))^{2} = 2 (2 cos (3 6^{\circ}) sin (1 8^{\circ}))

Zeige dass:

2 cos (3 6^{\circ}) sin (1 8^{\circ}) = \frac{1}{2}

Verwende die Doppelwinkelidentität:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

sin (7 2^{\circ}) = 2 sin (3 6^{\circ}) cos (3 6^{\circ})

sin (7 2^{\circ}) sin (3 6^{\circ}) = 4 sin (3 6^{\circ}) sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ}) cos (1 8^{\circ})

Teile beide Seiten durch

sin (3 6^{\circ})

sin (7 2^{\circ}) = 4 sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ}) cos (1 8^{\circ})

Verwende die folgenden Identitäten:

sin (x) = cos (9 0^{\circ} - x)

sin (7 2^{\circ}) = cos (9 0^{\circ} - 7 2^{\circ})

cos (9 0^{\circ} - 7 2^{\circ}) = 4 sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ}) cos (1 8^{\circ})

cos (1 8^{\circ}) = 4 sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ}) cos (1 8^{\circ})

Teile beide Seiten durch

cos (1 8^{\circ})

1 = 4 sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ})

Teile beide Seiten durch

2

\frac{1}{2} = 2 sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ})

Ersetze

2 cos (3 6^{\circ}) sin (1 8^{\circ}) = \frac{1}{2}

(cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ}))^{2} - (cos (3 6^{\circ}) - sin (1 8^{\circ}))^{2} = 1

Ersetze

cos (3 6^{\circ}) - sin (1 8^{\circ}) = \frac{1}{2}

(cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ}))^{2} - (\frac{1}{2})^{2} = 1

Fasse zusammen

(cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ}))^{2} - \frac{1}{4} = 1

Füge

\frac{1}{4}

zu beiden Seiten hinzu

(cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ}))^{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 1 + \frac{1}{4}

Fasse zusammen

(cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ}))^{2} = \frac{5}{4}

Ziehe die Quadratwurzel auf beiden Seiten

cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ}) = \pm \frac{5}{4}

cos (3 6^{\circ})

darf nicht negativ sein

sin (1 8^{\circ})

darf nicht negativ sein

cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ}) = \frac{5}{4}

Füge die folgenden Gleichungen hinzu

cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ}) = \frac{5}{2}

((cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ})) + (cos (3 6^{\circ}) - sin (1 8^{\circ}))) = (\frac{5}{2} + \frac{1}{2})

Fasse zusammen

cos (3 6^{\circ}) = \frac{5 + 1}{4}

= \frac{5 + 1}{4}

= \frac{1 - \frac{5 + 1}{4}}{1 + \frac{5 + 1}{4}}

Vereinfache

\frac{1 - \frac{5 + 1}{4}}{1 + \frac{5 + 1}{4}} : \frac{5 - 2 5}{5}

\frac{1 - \frac{5 + 1}{4}}{1 + \frac{5 + 1}{4}}

\frac{1 - \frac{5 + 1}{4}}{1 + \frac{5 + 1}{4}} = \frac{3 - 5}{5 + 5}

\frac{1 - \frac{5 + 1}{4}}{1 + \frac{5 + 1}{4}}

Füge

1 + \frac{5 + 1}{4}

zusammen:

\frac{5 + 5}{4}

1 + \frac{5 + 1}{4}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 \cdot 4}{4}

= \frac{1 \cdot 4}{4} + \frac{5 + 1}{4}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 4 + 5 + 1}{4}

1 \cdot 4 + 5 + 1 = 5 + 5

1 \cdot 4 + 5 + 1

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 4 = 4

= 4 + 5 + 1

Addiere die Zahlen:

4 + 1 = 5

= 5 + 5

= \frac{5 + 5}{4}

= \frac{1 - \frac{1 + 5}{4}}{\frac{5 + 5}{4}}

Füge

1 - \frac{5 + 1}{4}

zusammen:

\frac{3 - 5}{4}

1 - \frac{5 + 1}{4}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 \cdot 4}{4}

= \frac{1 \cdot 4}{4} - \frac{5 + 1}{4}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 4 - ( 5 + 1 )}{4}

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 4 = 4

= \frac{4 - ( 1 + 5 )}{4}

Multipliziere aus

4 - (5 + 1) : 3 - 5

4 - (5 + 1)

- (5 + 1) : - 5 - 1

- (5 + 1)

Setze Klammern

= - (5) - (1)

Wende Minus-Plus Regeln an

+ (- a) = - a

= - 5 - 1

= 4 - 5 - 1

Subtrahiere die Zahlen:

4 - 1 = 3

= 3 - 5

= \frac{3 - 5}{4}

= \frac{\frac{3 - 5}{4}}{\frac{5 + 5}{4}}

Teile Brüche:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{( 3 - 5 ) \cdot 4}{4 ( 5 + 5 )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

4

= \frac{3 - 5}{5 + 5}

= \frac{3 - 5}{5 + 5}

\frac{3 - 5}{5 + 5} = \frac{5 - 2 5}{5}

\frac{3 - 5}{5 + 5}

Multipliziere mit dem Konjugat

\frac{5 - 5}{5 - 5}

= \frac{( 3 - 5 ) ( 5 - 5 )}{( 5 + 5 ) ( 5 - 5 )}

(3 - 5) (5 - 5) = 20 - 85

(3 - 5) (5 - 5)

Wende Ausklammerungsregel an (VANI):

(a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d

a = 3, b = - 5, c = 5, d = - 5

= 3 \cdot 5 + 3 (- 5) + (- 5) \cdot 5 + (- 5) (- 5)

Wende Minus-Plus Regeln an

+ (- a) = - a, (- a) (- b) = ab

= 3 \cdot 5 - 35 - 55 + 55

Vereinfache

3 \cdot 5 - 35 - 55 + 55 : 20 - 85

3 \cdot 5 - 35 - 55 + 55

Addiere gleiche Elemente:

- 35 - 55 = - 85

= 3 \cdot 5 - 85 + 55

Multipliziere die Zahlen:

3 \cdot 5 = 15

= 15 - 85 + 55

Wende Radikal Regel an:

a a = a

55 = 5

= 15 - 85 + 5

Addiere die Zahlen:

15 + 5 = 20

= 20 - 85

= 20 - 85

(5 + 5) (5 - 5) = 20

(5 + 5) (5 - 5)

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = 5, b = 5

= 5^{2} - (5)^{2}

Vereinfache

5^{2} - (5)^{2} : 20

5^{2} - (5)^{2}

5^{2} = 25

5^{2}

5^{2} = 25

= 25

(5)^{2} = 5

(5)^{2}

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (5^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= 5

= 25 - 5

Subtrahiere die Zahlen:

25 - 5 = 20

= 20

= 20

= \frac{20 - 8 5}{20}

Faktorisiere

20 - 85 : 4 (5 - 25)

20 - 85

Schreibe um

= 4 \cdot 5 - 4 \cdot 25

Klammere gleiche Terme aus

4

= 4 (5 - 25)

= \frac{4 ( 5 - 2 5 )}{20}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

4

= \frac{5 - 2 5}{5}

= \frac{5 - 2 5}{5}

= \frac{5 - 2 5}{5}

= \frac{1}{2 \frac{5 - 2 5}{5}}

Vereinfache

\frac{1}{2 \frac{5 - 2 5}{5}} : \frac{( 2 + 5 ) 5 - 2 5}{2}

\frac{1}{2 \frac{5 - 2 5}{5}}

\frac{5 - 2 5}{5} = \frac{5 - 2 5}{5}

\frac{5 - 2 5}{5}

Wende Radikal Regel an:

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

angenommen

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{5 - 2 5}{5}

= \frac{1}{2 \cdot \frac{5 - 2 5}{5}}

Multipliziere

2 \cdot \frac{5 - 2 5}{5} : \frac{2 5 - 2 5}{5}

2 \cdot \frac{5 - 2 5}{5}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{5 - 2 5 \cdot 2}{5}

= \frac{1}{\frac{2 5 - 2 5}{5}}

Wende Bruchregel an:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{5}{5 - 2 5 \cdot 2}

Rationalisiere

\frac{5}{2 5 - 2 5} : \frac{( 2 + 5 ) 5 - 2 5}{2}

\frac{5}{2 5 - 2 5}

Multipliziere mit dem Konjugat

\frac{5 - 2 5}{5 - 2 5}

= \frac{5 5 - 2 5}{5 - 2 5 \cdot 2 5 - 2 5}

5 - 25 \cdot 2 5 - 25 = 10 - 45

5 - 25 \cdot 2 5 - 25

Wende Radikal Regel an:

a a = a

5 - 25 5 - 25 = 5 - 25

= 2 (5 - 25)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 2, b = 5, c = 25

= 2 \cdot 5 - 2 \cdot 25

Vereinfache

2 \cdot 5 - 2 \cdot 25 : 10 - 45

2 \cdot 5 - 2 \cdot 25

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 5 = 10

= 10 - 2 \cdot 25

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= 10 - 45

= 10 - 45

= \frac{5 5 - 2 5}{10 - 4 5}

Klammere gleiche Terme aus

- 2 : - 2 (25 - 5)

- 45 + 10

Schreibe

10

um:

2 \cdot 5

Schreibe

4

um:

2 \cdot 2

= - 2 \cdot 25 + 2 \cdot 5

Klammere gleiche Terme aus

- 2

= - 2 (25 - 5)

= - \frac{5 5 - 2 5}{2 ( 2 5 - 5 )}

Streiche

- \frac{5 5 - 2 5}{2 ( 2 5 - 5 )} : \frac{5 5 - 2 5}{2 ( 5 - 2 5 )}

- \frac{5 5 - 2 5}{2 ( 2 5 - 5 )}

25 - 5 = - (5 - 25)

= - \frac{5 5 - 2 5}{- 2 ( 5 - 2 5 )}

Fasse zusammen

= \frac{5 5 - 2 5}{2 ( 5 - 2 5 )}

= \frac{5 5 - 2 5}{2 ( 5 - 2 5 )}

Multipliziere mit dem Konjugat

\frac{5 + 2 5}{5 + 2 5}

= \frac{5 5 - 2 5 ( 5 + 2 5 )}{2 ( 5 - 2 5 ) ( 5 + 2 5 )}

5 5 - 25 (5 + 25) = 55 5 - 25 + 10 5 - 25

5 5 - 25 (5 + 25)

= 5 (5 + 25) 5 - 25

Wende das Distributivgesetz an:

a (b + c) = ab + a c

a = 5 5 - 25, b = 5, c = 25

= 5 5 - 25 \cdot 5 + 5 5 - 25 \cdot 25

= 55 5 - 25 + 255 5 - 25

255 5 - 25 = 10 5 - 25

255 5 - 25

Wende Radikal Regel an:

a a = a

55 = 5

= 2 \cdot 5 5 - 25

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 5 = 10

= 10 5 - 25

= 55 5 - 25 + 10 5 - 25

2 (5 - 25) (5 + 25) = 10

2 (5 - 25) (5 + 25)

Multipliziere aus

(5 - 25) (5 + 25) : 5

(5 - 25) (5 + 25)

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}

a = 5, b = 25

= 5^{2} - (25)^{2}

Vereinfache

5^{2} - (25)^{2} : 5

5^{2} - (25)^{2}

5^{2} = 25

5^{2}

5^{2} = 25

= 25

(25)^{2} = 20

(25)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 2^{2} (5)^{2}

(5)^{2} : 5

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (5^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= 5

= 2^{2} \cdot 5

2^{2} = 4

= 4 \cdot 5

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 5 = 20

= 20

= 25 - 20

Subtrahiere die Zahlen:

25 - 20 = 5

= 5

= 5

= 2 \cdot 5

Multipliziere aus

2 \cdot 5 : 10

2 \cdot 5

Setze Klammern

= 2 \cdot 5

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 5 = 10

= 10

= 10

= \frac{5 5 5 - 2 5 + 10 5 - 2 5}{10}

Faktorisiere

55 5 - 25 + 10 5 - 25 : 5 5 - 25 (5 + 2)

55 5 - 25 + 10 5 - 25

Schreibe um

= 5 5 - 25 5 + 2 \cdot 5 5 - 25

Klammere gleiche Terme aus

5 5 - 25

= 5 5 - 25 (5 + 2)

= \frac{5 5 - 2 5 ( 5 + 2 )}{10}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

5

= \frac{( 2 + 5 ) 5 - 2 5}{2}

= \frac{( 2 + 5 ) 5 - 2 5}{2}

= \frac{( 2 + 5 ) 5 - 2 5}{2}

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