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人気のある三角関数 >

csc((2pi)/5)

解

csc (\frac{2 π}{5})

解

\frac{2 ( 5 - 5 ) 5 + 5}{10}

+1

十進法表記

1.05146 \dots

解答ステップ

csc (\frac{2 π}{5})

三角関数の公式を使用して書き換える:

\frac{1}{sin ( \frac{2 π}{5} )}

csc (\frac{2 π}{5})

基本的な三角関数の公式を使用する:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{1}{sin ( \frac{2 π}{5} )}

= \frac{1}{sin ( \frac{2 π}{5} )}

三角関数の公式を使用して書き換える:

sin (\frac{2 π}{5}) = \frac{2 5 + 5}{4}

sin (\frac{2 π}{5})

三角関数の公式を使用して書き換える:

cos (\frac{π}{10})

sin (\frac{2 π}{5})

次の恒等を使用する:

sin (x) = cos (\frac{π}{2} - x)

= cos (\frac{π}{2} - \frac{2 π}{5})

簡素化:

\frac{π}{2} - \frac{2 π}{5} = \frac{π}{10}

\frac{π}{2} - \frac{2 π}{5}

以下の最小公倍数:

2, 5 : 10

2, 5

最小公倍数 (LCM)

以下の素因数分解:

2 : 2

2

2

は素数なので, 因数分解できない

= 2

以下の素因数分解:

5 : 5

5

5

は素数なので, 因数分解できない

= 5

2

または以下のいずれかで生じる最大回数, 各因数を乗じる:

5

= 2 \cdot 5

数を乗じる:

2 \cdot 5 = 10

= 10

LCMに基づいて分数を調整する

該当する分母を乗じてLCMに変えるために

必要な量で各分子を乗じる

10

\frac{π}{2}

の場合

:

分母と分子に以下を乗じる:

5

\frac{π}{2} = \frac{π 5}{2 \cdot 5} = \frac{π 5}{10}

\frac{2 π}{5}

の場合

:

分母と分子に以下を乗じる:

2

\frac{2 π}{5} = \frac{2 π 2}{5 \cdot 2} = \frac{4 π}{10}

= \frac{π 5}{10} - \frac{4 π}{10}

分母が等しいので, 分数を組み合わせる:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 5 - 4 π}{10}

類似した元を足す:

5 π - 4 π = π

= \frac{π}{10}

= cos (\frac{π}{10})

= cos (\frac{π}{10})

三角関数の公式を使用して書き換える:

\frac{1 + cos ( \frac{π}{5} )}{2}

cos (\frac{π}{10})

cos (\frac{π}{10})

を以下として書く:

cos (\frac{\frac{π}{5}}{2})

= cos (\frac{\frac{π}{5}}{2})

半角の公式を使用:

cos (\frac{θ}{2}) = \frac{1 + cos ( θ )}{2}

2倍角の公式を使用

cos (2 θ) = 2 cos^{2} (θ) - 1

θ

を以下で代用:

\frac{θ}{2}

cos (θ) = 2 cos^{2} (\frac{θ}{2}) - 1

辺を交換する

2 cos^{2} (\frac{θ}{2}) = 1 + cos (θ)

以下で両辺を割る

2

cos^{2} (\frac{θ}{2}) = \frac{( 1 + cos ( θ ) )}{2}

両側で平方根

次の四分円に従って根号を選びます:

\frac{θ}{2}

:

範囲 [0, \frac{π}{2}] [\frac{π}{2}, π] [π, \frac{3 π}{2}] [\frac{3 π}{2}, 2 π] 四分円 I II III I V sin 正 正 負 負 cos 負 負 負 正

cos (\frac{θ}{2}) = \frac{( 1 + cos ( θ ) )}{2}

= \frac{1 + cos ( \frac{π}{5} )}{2}

= \frac{1 + cos ( \frac{π}{5} )}{2}

三角関数の公式を使用して書き換える:

cos (\frac{π}{5}) = \frac{5 + 1}{4}

cos (\frac{π}{5})

以下を証明する:

cos (\frac{π}{5}) - sin (\frac{π}{10}) = \frac{1}{2}

加法定理に次の積を使用する:

2 sin (x) cos (y) = sin (x + y) - sin (x - y)

2 cos (\frac{π}{5}) sin (\frac{π}{10}) = sin (\frac{3 π}{10}) - sin (\frac{π}{10})

以下を証明する:

2 cos (\frac{π}{5}) sin (\frac{π}{10}) = \frac{1}{2}

2倍角の公式を使用:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

sin (\frac{2 π}{5}) = 2 sin (\frac{π}{5}) cos (\frac{π}{5})

sin (\frac{2 π}{5}) sin (\frac{π}{5}) = 4 sin (\frac{π}{5}) sin (\frac{π}{10}) cos (\frac{π}{5}) cos (\frac{π}{10})

以下で両辺を割る

sin (\frac{π}{5})

sin (\frac{2 π}{5}) = 4 sin (\frac{π}{10}) cos (\frac{π}{5}) cos (\frac{π}{10})

次の恒等を使用する:

sin (x) = cos (\frac{π}{2} - x)

sin (\frac{2 π}{5}) = cos (\frac{π}{2} - \frac{2 π}{5})

cos (\frac{π}{2} - \frac{2 π}{5}) = 4 sin (\frac{π}{10}) cos (\frac{π}{5}) cos (\frac{π}{10})

cos (\frac{π}{10}) = 4 sin (\frac{π}{10}) cos (\frac{π}{5}) cos (\frac{π}{10})

以下で両辺を割る

cos (\frac{π}{10})

1 = 4 sin (\frac{π}{10}) cos (\frac{π}{5})

以下で両辺を割る

2

\frac{1}{2} = 2 sin (\frac{π}{10}) cos (\frac{π}{5})

代用

\frac{1}{2} = 2 sin (\frac{π}{10}) cos (\frac{π}{5})

\frac{1}{2} = sin (\frac{3 π}{10}) - sin (\frac{π}{10})

sin (\frac{3 π}{10}) = cos (\frac{π}{2} - \frac{3 π}{10})

\frac{1}{2} = cos (\frac{π}{2} - \frac{3 π}{10}) - sin (\frac{π}{10})

\frac{1}{2} = cos (\frac{π}{5}) - sin (\frac{π}{10})

以下を証明する:

cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10}) = \frac{5}{4}

因数分解の規則を使用する:

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

a = cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10})

(cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10}))^{2} - (cos (\frac{π}{5}) - sin (\frac{π}{10}))^{2} = ((cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10})) + (cos (\frac{π}{5}) - sin (\frac{π}{10}))) ((cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10})) - (cos (\frac{π}{5}) - sin (\frac{π}{10})))

改良

(cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10}))^{2} - (cos (\frac{π}{5}) - sin (\frac{π}{10}))^{2} = 2 (2 cos (\frac{π}{5}) sin (\frac{π}{10}))

以下を証明する:

2 cos (\frac{π}{5}) sin (\frac{π}{10}) = \frac{1}{2}

2倍角の公式を使用:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

sin (\frac{2 π}{5}) = 2 sin (\frac{π}{5}) cos (\frac{π}{5})

sin (\frac{2 π}{5}) sin (\frac{π}{5}) = 4 sin (\frac{π}{5}) sin (\frac{π}{10}) cos (\frac{π}{5}) cos (\frac{π}{10})

以下で両辺を割る

sin (\frac{π}{5})

sin (\frac{2 π}{5}) = 4 sin (\frac{π}{10}) cos (\frac{π}{5}) cos (\frac{π}{10})

次の恒等を使用する:

sin (x) = cos (\frac{π}{2} - x)

sin (\frac{2 π}{5}) = cos (\frac{π}{2} - \frac{2 π}{5})

cos (\frac{π}{2} - \frac{2 π}{5}) = 4 sin (\frac{π}{10}) cos (\frac{π}{5}) cos (\frac{π}{10})

cos (\frac{π}{10}) = 4 sin (\frac{π}{10}) cos (\frac{π}{5}) cos (\frac{π}{10})

以下で両辺を割る

cos (\frac{π}{10})

1 = 4 sin (\frac{π}{10}) cos (\frac{π}{5})

以下で両辺を割る

2

\frac{1}{2} = 2 sin (\frac{π}{10}) cos (\frac{π}{5})

代用

2 cos (\frac{π}{5}) sin (\frac{π}{10}) = \frac{1}{2}

(cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10}))^{2} - (cos (\frac{π}{5}) - sin (\frac{π}{10}))^{2} = 1

代用

cos (\frac{π}{5}) - sin (\frac{π}{10}) = \frac{1}{2}

(cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10}))^{2} - (\frac{1}{2})^{2} = 1

改良

(cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10}))^{2} - \frac{1}{4} = 1

両辺に

\frac{1}{4}

を足す

(cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10}))^{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 1 + \frac{1}{4}

改良

(cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10}))^{2} = \frac{5}{4}

用側の平方根を取得する

cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10}) = \pm \frac{5}{4}

cos (\frac{π}{5})

負の数にはできない

sin (\frac{π}{10})

負の数にはできない

cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10}) = \frac{5}{4}

次のequationを追加する

cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10}) = \frac{5}{2}

((cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10})) + (cos (\frac{π}{5}) - sin (\frac{π}{10}))) = (\frac{5}{2} + \frac{1}{2})

改良

cos (\frac{π}{5}) = \frac{5 + 1}{4}

= \frac{5 + 1}{4}

= \frac{1 + \frac{5 + 1}{4}}{2}

簡素化

\frac{1 + \frac{5 + 1}{4}}{2} : \frac{2 5 + 5}{4}

\frac{1 + \frac{5 + 1}{4}}{2}

\frac{1 + \frac{5 + 1}{4}}{2} = \frac{5 + 5}{8}

\frac{1 + \frac{5 + 1}{4}}{2}

結合

1 + \frac{5 + 1}{4} : \frac{5 + 5}{4}

1 + \frac{5 + 1}{4}

元を分数に変換する:

1 = \frac{1 \cdot 4}{4}

= \frac{1 \cdot 4}{4} + \frac{5 + 1}{4}

分母が等しいので, 分数を組み合わせる:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 4 + 5 + 1}{4}

1 \cdot 4 + 5 + 1 = 5 + 5

1 \cdot 4 + 5 + 1

数を乗じる:

1 \cdot 4 = 4

= 4 + 5 + 1

数を足す:

4 + 1 = 5

= 5 + 5

= \frac{5 + 5}{4}

= \frac{\frac{5 + 5}{4}}{2}

分数の規則を適用する:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{5 + 5}{4 \cdot 2}

数を乗じる:

4 \cdot 2 = 8

= \frac{5 + 5}{8}

= \frac{5 + 5}{8}

累乗根の規則を適用する:

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

, 以下を想定

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{5 + 5}{8}

8 = 22

8

以下の素因数分解:

8 : 2^{3}

8

828 = 4 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 4

424 = 2 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 2

2

は素数なので, さらに因数分解はできない

= 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{3}

= 2^{3}

指数の規則を適用する:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 2

累乗根の規則を適用する:

n ab = n a n b

= 2 2^{2}

累乗根の規則を適用する:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 22

= \frac{5 + 5}{2 2}

有理化する

\frac{5 + 5}{2 2} : \frac{2 5 + 5}{4}

\frac{5 + 5}{2 2}

共役で乗じる

\frac{2}{2}

= \frac{5 + 5 2}{2 2 2}

222 = 4

222

指数の規則を適用する:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

222 = 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}

= 2^{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}

類似した元を足す:

\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 2 \cdot \frac{1}{2}

= 2^{1 + 2 \cdot \frac{1}{2}}

2 \cdot \frac{1}{2} = 1

2 \cdot \frac{1}{2}

分数を乗じる:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

共通因数を約分する:

2

= 1

= 2^{1 + 1}

数を足す:

1 + 1 = 2

= 2^{2}

2^{2} = 4

= 4

= \frac{2 5 + 5}{4}

= \frac{2 5 + 5}{4}

= \frac{2 5 + 5}{4}

= \frac{1}{\frac{2 5 + 5}{4}}

簡素化

\frac{1}{\frac{2 5 + 5}{4}} : \frac{2 ( 5 - 5 ) 5 + 5}{10}

\frac{1}{\frac{2 5 + 5}{4}}

分数の規則を適用する:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{4}{2 5 + 5}

因数

4 : 2^{2}

因数

4 = 2^{2}

= \frac{2 ^{2}}{2 5 + 5}

キャンセル

\frac{2 ^{2}}{2 5 + 5} : \frac{2 ^{\frac{3}{2}}}{5 + 5}

\frac{2 ^{2}}{2 5 + 5}

累乗根の規則を適用する:

n a = a^{\frac{1}{n}}

2 = 2^{\frac{1}{2}}

= \frac{2 ^{2}}{2 ^{\frac{1}{2}} 5 + 5}

指数の規則を適用する:

\frac{x ^{a}}{x ^{b}} = x^{a - b}

\frac{2 ^{2}}{2 ^{\frac{1}{2}}} = 2^{2 - \frac{1}{2}}

= \frac{2 ^{2 - \frac{1}{2}}}{5 + 5}

数を引く:

2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}

= \frac{2 ^{\frac{3}{2}}}{5 + 5}

= \frac{2 ^{\frac{3}{2}}}{5 + 5}

2^{\frac{3}{2}} = 22

2^{\frac{3}{2}}

2^{\frac{3}{2}} = 2^{1 + \frac{1}{2}}

= 2^{1 + \frac{1}{2}}

指数の規則を適用する:

x^{a + b} = x^{a} x^{b}

= 2^{1} \cdot 2^{\frac{1}{2}}

改良

= 22

= \frac{2 2}{5 + 5}

有理化する

\frac{2 2}{5 + 5} : \frac{2 ( 5 - 5 ) 5 + 5}{10}

\frac{2 2}{5 + 5}

共役で乗じる

\frac{5 + 5}{5 + 5}

= \frac{2 2 5 + 5}{5 + 5 5 + 5}

5 + 5 5 + 5 = 5 + 5

5 + 5 5 + 5

累乗根の規則を適用する:

a a = a

5 + 5 5 + 5 = 5 + 5

= 5 + 5

= \frac{2 2 5 + 5}{5 + 5}

共役で乗じる

\frac{5 - 5}{5 - 5}

= \frac{2 2 5 + 5 ( 5 - 5 )}{( 5 + 5 ) ( 5 - 5 )}

(5 + 5) (5 - 5) = 20

(5 + 5) (5 - 5)

2乗の差の公式を適用する:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = 5, b = 5

= 5^{2} - (5)^{2}

簡素化

5^{2} - (5)^{2} : 20

5^{2} - (5)^{2}

5^{2} = 25

5^{2}

5^{2} = 25

= 25

(5)^{2} = 5

(5)^{2}

累乗根の規則を適用する:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (5^{\frac{1}{2}})^{2}

指数の規則を適用する:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

分数を乗じる:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

共通因数を約分する:

2

= 1

= 5

= 25 - 5

数を引く:

25 - 5 = 20

= 20

= 20

= \frac{2 2 ( 5 - 5 ) 5 + 5}{20}

共通因数を約分する:

2

= \frac{2 ( 5 - 5 ) 5 + 5}{10}

= \frac{2 ( 5 - 5 ) 5 + 5}{10}

= \frac{2 ( 5 - 5 ) 5 + 5}{10}

人気の例

cos (\frac{π}{2} \cdot 4)

\frac{15}{tan ( 7 0 ^{\circ} )}

5 \cdot sin (3 7^{\circ})

cos (100 8^{\circ})

arcsin(1/(1.31))

arcsin (\frac{1}{1.31})