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Beliebt Trigonometrie >

(2cos(x)-1)(2cos(x)+sqrt(2))<0

Lösung

(2 cos (x) - 1) (2 cos (x) + 2) < 0

Lösung

\frac{π}{3} + 2 πn < x < \frac{3 π}{4} + 2 πn or \frac{5 π}{4} + 2 πn < x < \frac{5 π}{3} + 2 πn

Intervall-Notation

(\frac{π}{3} + 2 πn, \frac{3 π}{4} + 2 πn) \cup (\frac{5 π}{4} + 2 πn, \frac{5 π}{3} + 2 πn)

Dezimale

1.04719 \dots + 2 πn < x < 2.35619 \dots + 2 πn or 3.92699 \dots + 2 πn < x < 5.23598 \dots + 2 πn

Schritte zur Lösung

(2 cos (x) - 1) (2 cos (x) + 2) < 0

Angenommen:

u = cos (x)

(2 u - 1) (2 u + 2) < 0

(2 u - 1) (2 u + 2) < 0 : - \frac{2}{2} < u < \frac{1}{2}

(2 u - 1) (2 u + 2) < 0

Identifiziere die Intervalle

Finde die Vorzeichen der Faktoren von

(2 u - 1) (2 u + 2)

Finde die Vorzeichen von

2 u - 1

2 u - 1 = 0 : u = \frac{1}{2}

2 u - 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

2 u - 1 = 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

2 u - 1 + 1 = 0 + 1

Vereinfache

2 u = 1

2 u = 1

Teile beide Seiten durch

2

2 u = 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

Vereinfache

u = \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0 : u < \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

2 u - 1 < 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

2 u - 1 + 1 < 0 + 1

Vereinfache

2 u < 1

2 u < 1

Teile beide Seiten durch

2

2 u < 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 u}{2} < \frac{1}{2}

Vereinfache

u < \frac{1}{2}

u < \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0 : u > \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

2 u - 1 > 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

2 u - 1 + 1 > 0 + 1

Vereinfache

2 u > 1

2 u > 1

Teile beide Seiten durch

2

2 u > 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 u}{2} > \frac{1}{2}

Vereinfache

u > \frac{1}{2}

u > \frac{1}{2}

Finde die Vorzeichen von

2 u + 2

2 u + 2 = 0 : u = - \frac{2}{2}

2 u + 2 = 0

Verschiebe

2

auf die rechte Seite

2 u + 2 = 0

Subtrahiere

2

von beiden Seiten

2 u + 2 - 2 = 0 - 2

Vereinfache

2 u = - 2

2 u = - 2

Teile beide Seiten durch

2

2 u = - 2

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 u}{2} = \frac{- 2}{2}

Vereinfache

u = - \frac{2}{2}

u = - \frac{2}{2}

2 u + 2 < 0 : u < - \frac{2}{2}

2 u + 2 < 0

Verschiebe

2

auf die rechte Seite

2 u + 2 < 0

Subtrahiere

2

von beiden Seiten

2 u + 2 - 2 < 0 - 2

Vereinfache

2 u < - 2

2 u < - 2

Teile beide Seiten durch

2

2 u < - 2

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 u}{2} < \frac{- 2}{2}

Vereinfache

u < - \frac{2}{2}

u < - \frac{2}{2}

2 u + 2 > 0 : u > - \frac{2}{2}

2 u + 2 > 0

Verschiebe

2

auf die rechte Seite

2 u + 2 > 0

Subtrahiere

2

von beiden Seiten

2 u + 2 - 2 > 0 - 2

Vereinfache

2 u > - 2

2 u > - 2

Teile beide Seiten durch

2

2 u > - 2

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 u}{2} > \frac{- 2}{2}

Vereinfache

u > - \frac{2}{2}

u > - \frac{2}{2}

Fasse in einer Tabelle zusammen:

2 u - 1 2 u + 2 (2 u - 1) (2 u + 2) u < - \frac{2}{2} - - + u = - \frac{2}{2} - 00 - \frac{2}{2} < u < \frac{1}{2} - + - u = \frac{1}{2} 0 + 0 u > \frac{1}{2} + + +

Finde die Intervalle, die geforderte Bedingung erfüllen:

< 0

- \frac{2}{2} < u < \frac{1}{2}

- \frac{2}{2} < u < \frac{1}{2}

- \frac{2}{2} < u < \frac{1}{2}

Setze in

u = cos (x)

ein

- \frac{2}{2} < cos (x) < \frac{1}{2}

Wenn

a < u < b

dann

a < u and u < b

- \frac{2}{2} < cos (x) and cos (x) < \frac{1}{2}

- \frac{2}{2} < cos (x) : - \frac{3 π}{4} + 2 πn < x < \frac{3 π}{4} + 2 πn

- \frac{2}{2} < cos (x)

Tausche die Seiten

cos (x) > - \frac{2}{2}

Für

cos (x) > a

, wenn

- 1 \leq a < 1

dann

- arccos (a) + 2 πn < x < arccos (a) + 2 πn

- arccos (- \frac{2}{2}) + 2 πn < x < arccos (- \frac{2}{2}) + 2 πn

Vereinfache

- arccos (- \frac{2}{2}) : - \frac{3 π}{4}

- arccos (- \frac{2}{2})

Verwende die folgende triviale Identität:

arccos (- \frac{2}{2}) = \frac{3 π}{4}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= - \frac{3 π}{4}

Vereinfache

arccos (- \frac{2}{2}) : \frac{3 π}{4}

arccos (- \frac{2}{2})

Verwende die folgende triviale Identität:

arccos (- \frac{2}{2}) = \frac{3 π}{4}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{3 π}{4}

- \frac{3 π}{4} + 2 πn < x < \frac{3 π}{4} + 2 πn

cos (x) < \frac{1}{2} : \frac{π}{3} + 2 πn < x < \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (x) < \frac{1}{2}

Für

cos (x) < a

, wenn

- 1 < a \leq 1

dann

arccos (a) + 2 πn < x < 2 π - arccos (a) + 2 πn

arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn < x < 2 π - arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn

Vereinfache

arccos (\frac{1}{2}) : \frac{π}{3}

arccos (\frac{1}{2})

Verwende die folgende triviale Identität:

arccos (\frac{1}{2}) = \frac{π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{π}{3}

Vereinfache

2 π - arccos (\frac{1}{2}) : \frac{5 π}{3}

2 π - arccos (\frac{1}{2})

Verwende die folgende triviale Identität:

arccos (\frac{1}{2}) = \frac{π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= 2 π - \frac{π}{3}

Vereinfache

2 π - \frac{π}{3}

Wandle das Element in einen Bruch um:

2 π = \frac{2 π 3}{3}

= \frac{2 π 3}{3} - \frac{π}{3}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 π 3 - π}{3}

2 π 3 - π = 5 π

2 π 3 - π

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 3 = 6

= 6 π - π

Addiere gleiche Elemente:

6 π - π = 5 π

= 5 π

= \frac{5 π}{3}

= \frac{5 π}{3}

\frac{π}{3} + 2 πn < x < \frac{5 π}{3} + 2 πn

Kombiniere die Bereiche

- \frac{3 π}{4} + 2 πn < x < \frac{3 π}{4} + 2 πn and \frac{π}{3} + 2 πn < x < \frac{5 π}{3} + 2 πn

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

\frac{π}{3} + 2 πn < x < \frac{3 π}{4} + 2 πn or \frac{5 π}{4} + 2 πn < x < \frac{5 π}{3} + 2 πn

Beliebte Beispiele

2cos(3x-1/2)>= (sqrt(2))/2

2 cos (3 x - \frac{1}{2}) \geq \frac{2}{2}

2cos(x)+sqrt(2)<0

2 cos (x) + 2 < 0

sin(2*x)>= 1

sin (2 \cdot x) \geq 1

-5cos(x)>0

- 5 cos (x) > 0

sin(x)+cos(x)<= 1

sin (x) + cos (x) \leq 1