English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Populaire Trigonométrie >

2sin^4(x)-3sin^2(x)+1>0

Solution

2 sin^{4} (x) - 3 sin^{2} (x) + 1 > 0

Solution

2 πn \leq x < \frac{π}{4} + 2 πn or \frac{3 π}{4} + 2 πn < x < \frac{5 π}{4} + 2 πn or \frac{7 π}{4} + 2 πn < x < 2 π + 2 πn

La notation des intervalles

[2 πn, \frac{π}{4} + 2 πn) \cup (\frac{3 π}{4} + 2 πn, \frac{5 π}{4} + 2 πn) \cup (\frac{7 π}{4} + 2 πn, 2 π + 2 πn)

Décimale

2 πn \leq x < 0.78539 \dots + 2 πn or 2.35619 \dots + 2 πn < x < 3.92699 \dots + 2 πn or 5.49778 \dots + 2 πn < x < 6.28318 \dots + 2 πn

étapes des solutions

2 sin^{4} (x) - 3 sin^{2} (x) + 1 > 0

Soit :

v = sin (x)

2 v^{4} - 3 v^{2} + 1 > 0

2 v^{4} - 3 v^{2} + 1 > 0 : v < - 1 or - \frac{2}{2} < v < \frac{2}{2} or v > 1

2 v^{4} - 3 v^{2} + 1 > 0

Factoriser

2 v^{4} - 3 v^{2} + 1 : (2 v + 1) (2 v - 1) (v + 1) (v - 1)

2 v^{4} - 3 v^{2} + 1

Soit

u = v^{2}

= 2 u^{2} - 3 u + 1

Factoriser

2 u^{2} - 3 u + 1 : (2 u - 1) (u - 1)

2 u^{2} - 3 u + 1

Décomposer l'expression en groupes

2 u^{2} - 3 u + 1

Définition

Facteurs de

2 : 1, 2

2

Diviseurs (Facteurs)

Trouver les facteurs premiers de

2 : 2

2

2

est un nombre premier, par conséquent aucune factorisation n'est possible

= 2

Ajouter 1

1

Les facteurs de

2

1, 2

Facteurs négatifs de

2 : - 1, - 2

Multiplier les facteurs par

- 1

pour obtenir des facteurs négatifs

- 1, - 2

Pour chaque deux facteurs tels que

u * v = 2,

vérifier si

u + v = - 3

Vérifier

u = 1, v = 2 : u * v = 2, u + v = 3 \Rightarrow

FauxVérifier

u = - 1, v = - 2 : u * v = 2, u + v = - 3 \Rightarrow

vrai

u = - 1, v = - 2

Grouper dans

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(2 u^{2} - u) + (- 2 u + 1)

= (2 u^{2} - u) + (- 2 u + 1)

Factoriser

u

depuis

2 u^{2} - u : u (2 u - 1)

2 u^{2} - u

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 2 uu - u

Factoriser le terme commun

u

= u (2 u - 1)

Factoriser

- 1

depuis

- 2 u + 1 : - (2 u - 1)

- 2 u + 1

Factoriser le terme commun

- 1

= - (2 u - 1)

= u (2 u - 1) - (2 u - 1)

Factoriser le terme commun

2 u - 1

= (2 u - 1) (u - 1)

= (2 u - 1) (u - 1)

Remplacer

u = v^{2}

= (v^{2} - 1) (2 v^{2} - 1)

Factoriser

2 v^{2} - 1 : (2 v + 1) (2 v - 1)

2 v^{2} - 1

Récrire

2 v^{2} - 1

comme

(2 v)^{2} - 1^{2}

2 v^{2} - 1

Appliquer la règle des radicaux:

a = (a)^{2}

2 = (2)^{2}

= (2)^{2} v^{2} - 1

Récrire

1

comme

1^{2}

= (2)^{2} v^{2} - 1^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

(2)^{2} v^{2} = (2 v)^{2}

= (2 v)^{2} - 1^{2}

= (2 v)^{2} - 1^{2}

Appliquer la formule de différence de deux carrés :

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(2 v)^{2} - 1^{2} = (2 v + 1) (2 v - 1)

= (2 v + 1) (2 v - 1)

= (2 v + 1) (2 v - 1) (v^{2} - 1)

Factoriser

v^{2} - 1 : (v + 1) (v - 1)

v^{2} - 1

Récrire

1

comme

1^{2}

= v^{2} - 1^{2}

Appliquer la formule de différence de deux carrés :

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

v^{2} - 1^{2} = (v + 1) (v - 1)

= (v + 1) (v - 1)

= (2 v + 1) (2 v - 1) (v + 1) (v - 1)

(2 v + 1) (2 v - 1) (v + 1) (v - 1) > 0

Identifier les intervalles

Trouver les signes des facteurs de

(2 v + 1) (2 v - 1) (v + 1) (v - 1)

Trouver les signes de

2 v + 1

2 v + 1 = 0 : v = - \frac{2}{2}

2 v + 1 = 0

Déplacer

1

vers la droite

2 v + 1 = 0

Soustraire

1

des deux côtés

2 v + 1 - 1 = 0 - 1

Simplifier

2 v = - 1

2 v = - 1

Diviser les deux côtés par

2

2 v = - 1

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 v}{2} = \frac{- 1}{2}

Simplifier

\frac{2 v}{2} = \frac{- 1}{2}

Simplifier

\frac{2 v}{2} : v

\frac{2 v}{2}

Annuler le facteur commun :

2

= v

Simplifier

\frac{- 1}{2} : - \frac{2}{2}

\frac{- 1}{2}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1}{2}

Simplifier

- \frac{1}{2} : - \frac{2}{2}

- \frac{1}{2}

Multiplier par le conjugué

\frac{2}{2}

= - \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Appliquer la règle des radicaux:

a a = a

22 = 2

= 2

= - \frac{2}{2}

= - \frac{2}{2}

v = - \frac{2}{2}

v = - \frac{2}{2}

v = - \frac{2}{2}

2 v + 1 < 0 : v < - \frac{2}{2}

2 v + 1 < 0

Déplacer

1

vers la droite

2 v + 1 < 0

Soustraire

1

des deux côtés

2 v + 1 - 1 < 0 - 1

Simplifier

2 v < - 1

2 v < - 1

Diviser les deux côtés par

2

2 v < - 1

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 v}{2} < \frac{- 1}{2}

Simplifier

\frac{2 v}{2} < \frac{- 1}{2}

Simplifier

\frac{2 v}{2} : v

\frac{2 v}{2}

Annuler le facteur commun :

2

= v

Simplifier

\frac{- 1}{2} : - \frac{2}{2}

\frac{- 1}{2}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1}{2}

Simplifier

- \frac{1}{2} : - \frac{2}{2}

- \frac{1}{2}

Multiplier par le conjugué

\frac{2}{2}

= - \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Appliquer la règle des radicaux:

a a = a

22 = 2

= 2

= - \frac{2}{2}

= - \frac{2}{2}

v < - \frac{2}{2}

v < - \frac{2}{2}

v < - \frac{2}{2}

2 v + 1 > 0 : v > - \frac{2}{2}

2 v + 1 > 0

Déplacer

1

vers la droite

2 v + 1 > 0

Soustraire

1

des deux côtés

2 v + 1 - 1 > 0 - 1

Simplifier

2 v > - 1

2 v > - 1

Diviser les deux côtés par

2

2 v > - 1

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 v}{2} > \frac{- 1}{2}

Simplifier

\frac{2 v}{2} > \frac{- 1}{2}

Simplifier

\frac{2 v}{2} : v

\frac{2 v}{2}

Annuler le facteur commun :

2

= v

Simplifier

\frac{- 1}{2} : - \frac{2}{2}

\frac{- 1}{2}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1}{2}

Simplifier

- \frac{1}{2} : - \frac{2}{2}

- \frac{1}{2}

Multiplier par le conjugué

\frac{2}{2}

= - \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Appliquer la règle des radicaux:

a a = a

22 = 2

= 2

= - \frac{2}{2}

= - \frac{2}{2}

v > - \frac{2}{2}

v > - \frac{2}{2}

v > - \frac{2}{2}

Trouver les signes de

2 v - 1

2 v - 1 = 0 : v = \frac{2}{2}

2 v - 1 = 0

Déplacer

1

vers la droite

2 v - 1 = 0

Ajouter

1

aux deux côtés

2 v - 1 + 1 = 0 + 1

Simplifier

2 v = 1

2 v = 1

Diviser les deux côtés par

2

2 v = 1

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 v}{2} = \frac{1}{2}

Simplifier

\frac{2 v}{2} = \frac{1}{2}

Simplifier

\frac{2 v}{2} : v

\frac{2 v}{2}

Annuler le facteur commun :

2

= v

Simplifier

\frac{1}{2} : \frac{2}{2}

\frac{1}{2}

Multiplier par le conjugué

\frac{2}{2}

= \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Appliquer la règle des radicaux:

a a = a

22 = 2

= 2

= \frac{2}{2}

v = \frac{2}{2}

v = \frac{2}{2}

v = \frac{2}{2}

2 v - 1 < 0 : v < \frac{2}{2}

2 v - 1 < 0

Déplacer

1

vers la droite

2 v - 1 < 0

Ajouter

1

aux deux côtés

2 v - 1 + 1 < 0 + 1

Simplifier

2 v < 1

2 v < 1

Diviser les deux côtés par

2

2 v < 1

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 v}{2} < \frac{1}{2}

Simplifier

\frac{2 v}{2} < \frac{1}{2}

Simplifier

\frac{2 v}{2} : v

\frac{2 v}{2}

Annuler le facteur commun :

2

= v

Simplifier

\frac{1}{2} : \frac{2}{2}

\frac{1}{2}

Multiplier par le conjugué

\frac{2}{2}

= \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Appliquer la règle des radicaux:

a a = a

22 = 2

= 2

= \frac{2}{2}

v < \frac{2}{2}

v < \frac{2}{2}

v < \frac{2}{2}

2 v - 1 > 0 : v > \frac{2}{2}

2 v - 1 > 0

Déplacer

1

vers la droite

2 v - 1 > 0

Ajouter

1

aux deux côtés

2 v - 1 + 1 > 0 + 1

Simplifier

2 v > 1

2 v > 1

Diviser les deux côtés par

2

2 v > 1

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 v}{2} > \frac{1}{2}

Simplifier

\frac{2 v}{2} > \frac{1}{2}

Simplifier

\frac{2 v}{2} : v

\frac{2 v}{2}

Annuler le facteur commun :

2

= v

Simplifier

\frac{1}{2} : \frac{2}{2}

\frac{1}{2}

Multiplier par le conjugué

\frac{2}{2}

= \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Appliquer la règle des radicaux:

a a = a

22 = 2

= 2

= \frac{2}{2}

v > \frac{2}{2}

v > \frac{2}{2}

v > \frac{2}{2}

Trouver les signes de

v + 1

v + 1 = 0 : v = - 1

v + 1 = 0

Déplacer

1

vers la droite

v + 1 = 0

Soustraire

1

des deux côtés

v + 1 - 1 = 0 - 1

Simplifier

v = - 1

v = - 1

v + 1 < 0 : v < - 1

v + 1 < 0

Déplacer

1

vers la droite

v + 1 < 0

Soustraire

1

des deux côtés

v + 1 - 1 < 0 - 1

Simplifier

v < - 1

v < - 1

v + 1 > 0 : v > - 1

v + 1 > 0

Déplacer

1

vers la droite

v + 1 > 0

Soustraire

1

des deux côtés

v + 1 - 1 > 0 - 1

Simplifier

v > - 1

v > - 1

Trouver les signes de

v - 1

v - 1 = 0 : v = 1

v - 1 = 0

Déplacer

1

vers la droite

v - 1 = 0

Ajouter

1

aux deux côtés

v - 1 + 1 = 0 + 1

Simplifier

v = 1

v = 1

v - 1 < 0 : v < 1

v - 1 < 0

Déplacer

1

vers la droite

v - 1 < 0

Ajouter

1

aux deux côtés

v - 1 + 1 < 0 + 1

Simplifier

v < 1

v < 1

v - 1 > 0 : v > 1

v - 1 > 0

Déplacer

1

vers la droite

v - 1 > 0

Ajouter

1

aux deux côtés

v - 1 + 1 > 0 + 1

Simplifier

v > 1

v > 1

Récapituler dans un tableau:

2 v + 1 2 v - 1 v + 1 v - 1 (2 v + 1) (2 v - 1) (v + 1) (v - 1) v < - 1 - - - - + v = - 1 - - 0 - 0 - 1 < v < - \frac{2}{2} - - + - - v = - \frac{2}{2} 0 - + - 0 - \frac{2}{2} < v < \frac{2}{2} + - + - + v = \frac{2}{2} + 0 + - 0 \frac{2}{2} < v < 1 + + + - - v = 1 + + + 00 v > 1 + + + + +

Identifier les intervalles qui répondent à la conditions requise :

> 0

v < - 1 or - \frac{2}{2} < v < \frac{2}{2} or v > 1

v < - 1 or - \frac{2}{2} < v < \frac{2}{2} or v > 1

v < - 1 or - \frac{2}{2} < v < \frac{2}{2} or v > 1

Remplacer

v = sin (x)

sin (x) < - 1 or - \frac{2}{2} < sin (x) < \frac{2}{2} or sin (x) > 1

sin (x) < - 1 :

Faux pour toute

x \in R

sin (x) < - 1

Plage de

sin (x) : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Définition de la plage de fonction

La plage de la base de la fonction

sin

est

- 1 \leq sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) \leq 1

sin (x) < - 1 and - 1 \leq sin (x) \leq 1 :

Faux

Soit

y = sin (x)

Réunir les intervalles

y < - 1 and - 1 \leq y \leq 1

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

y < - 1 and - 1 \leq y \leq 1

L'intersection de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans les deux intervalles

y < - 1

- 1 \leq y \leq 1

Faux pour toute y \in R

Faux pour toute y \in R

Aucune solution pour x \in R

Faux pour toute x \in R

- \frac{2}{2} < sin (x) < \frac{2}{2} : 2 πn \leq x < \frac{π}{4} + 2 πn or \frac{3 π}{4} + 2 πn < x < \frac{5 π}{4} + 2 πn or \frac{7 π}{4} + 2 πn < x < 2 π + 2 πn

- \frac{2}{2} < sin (x) < \frac{2}{2}

a < u < b

alors

a < u and u < b

- \frac{2}{2} < sin (x) and sin (x) < \frac{2}{2}

- \frac{2}{2} < sin (x) : - \frac{π}{4} + 2 πn < x < \frac{5 π}{4} + 2 πn

- \frac{2}{2} < sin (x)

Transposer les termes des côtés

sin (x) > - \frac{2}{2}

Pour

sin (x) > a

, si

- 1 \leq a < 1

alors

arcsin (a) + 2 πn < x < π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (- \frac{2}{2}) + 2 πn < x < π - arcsin (- \frac{2}{2}) + 2 πn

Simplifier

arcsin (- \frac{2}{2}) : - \frac{π}{4}

arcsin (- \frac{2}{2})

Utiliser la propriété suivante :

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- \frac{2}{2}) = - arcsin (\frac{2}{2})

= - arcsin (\frac{2}{2})

Utiliser l'identité triviale suivante:

arcsin (\frac{2}{2}) = \frac{π}{4}

arcsin (\frac{2}{2})

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{4}

= - \frac{π}{4}

Simplifier

π - arcsin (- \frac{2}{2}) : \frac{5 π}{4}

π - arcsin (- \frac{2}{2})

arcsin (- \frac{2}{2}) = - \frac{π}{4}

arcsin (- \frac{2}{2})

Utiliser la propriété suivante :

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- \frac{2}{2}) = - arcsin (\frac{2}{2})

= - arcsin (\frac{2}{2})

Utiliser l'identité triviale suivante:

arcsin (\frac{2}{2}) = \frac{π}{4}

arcsin (\frac{2}{2})

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{4}

= - \frac{π}{4}

= π - (- \frac{π}{4})

Simplifier

π - (- \frac{π}{4})

Appliquer la règle

- (- a) = a

= π + \frac{π}{4}

Convertir un élément en fraction:

π = \frac{π 4}{4}

= \frac{π 4}{4} + \frac{π}{4}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 4 + π}{4}

Additionner les éléments similaires :

4 π + π = 5 π

= \frac{5 π}{4}

= \frac{5 π}{4}

- \frac{π}{4} + 2 πn < x < \frac{5 π}{4} + 2 πn

sin (x) < \frac{2}{2} : - \frac{5 π}{4} + 2 πn < x < \frac{π}{4} + 2 πn

sin (x) < \frac{2}{2}

Pour

sin (x) < a

, si

- 1 < a \leq 1

alors

- π - arcsin (a) + 2 πn < x < arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (\frac{2}{2}) + 2 πn < x < arcsin (\frac{2}{2}) + 2 πn

Simplifier

- π - arcsin (\frac{2}{2}) : - \frac{5 π}{4}

- π - arcsin (\frac{2}{2})

Utiliser l'identité triviale suivante:

arcsin (\frac{2}{2}) = \frac{π}{4}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= - π - \frac{π}{4}

Simplifier

- π - \frac{π}{4}

Convertir un élément en fraction:

π = \frac{π 4}{4}

= - \frac{π 4}{4} - \frac{π}{4}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π 4 - π}{4}

Additionner les éléments similaires :

- 4 π - π = - 5 π

= \frac{- 5 π}{4}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{5 π}{4}

= - \frac{5 π}{4}

Simplifier

arcsin (\frac{2}{2}) : \frac{π}{4}

arcsin (\frac{2}{2})

Utiliser l'identité triviale suivante:

arcsin (\frac{2}{2}) = \frac{π}{4}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{4}

- \frac{5 π}{4} + 2 πn < x < \frac{π}{4} + 2 πn

Réunir les intervalles

- \frac{π}{4} + 2 πn < x < \frac{5 π}{4} + 2 πn and - \frac{5 π}{4} + 2 πn < x < \frac{π}{4} + 2 πn

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

2 πn \leq x < \frac{π}{4} + 2 πn or \frac{3 π}{4} + 2 πn < x < \frac{5 π}{4} + 2 πn or \frac{7 π}{4} + 2 πn < x < 2 π + 2 πn

sin (x) > 1 :

Faux pour toute

x \in R

sin (x) > 1

Plage de

sin (x) : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Définition de la plage de fonction

La plage de la base de la fonction

sin

est

- 1 \leq sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) \leq 1

sin (x) > 1 and - 1 \leq sin (x) \leq 1 :

Faux

Soit

y = sin (x)

Réunir les intervalles

y > 1 and - 1 \leq y \leq 1

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

y > 1 and - 1 \leq y \leq 1

L'intersection de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans les deux intervalles

y > 1

- 1 \leq y \leq 1

Faux pour toute y \in R

Faux pour toute y \in R

Aucune solution pour x \in R

Faux pour toute x \in R

Réunir les intervalles

Faux pour toute x \in R or (2 πn \leq x < \frac{π}{4} + 2 πn or \frac{3 π}{4} + 2 πn < x < \frac{5 π}{4} + 2 πn or \frac{7 π}{4} + 2 πn < x < 2 π + 2 πn) or Faux pour toute x \in R

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

2 πn \leq x < \frac{π}{4} + 2 πn or \frac{3 π}{4} + 2 πn < x < \frac{5 π}{4} + 2 πn or \frac{7 π}{4} + 2 πn < x < 2 π + 2 πn

Exemples populaires

cos(x)+(sqrt(3))/2 <= 0

cos (x) + \frac{3}{2} \leq 0

(sin(x)+cos(x))>= 1/2

(sin (x) + cos (x)) \geq \frac{1}{2}

tan(x)<= sqrt(3)

tan (x) \leq 3

50sin(-pi/2 x-pi/2)>= 15

50 sin (- \frac{π}{2} x - \frac{π}{2}) \geq 15

solvefor x,sin(x)cos(2x)>0

so l v e f or x, sin (x) cos (2 x) > 0