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人気のある三角関数 >

tan^2(x)+2tan(x)>3

解

tan^{2} (x) + 2 tan (x) > 3

解

\frac{π}{4} + πn < x < \frac{π}{2} + πn or - \frac{π}{2} + πn < x < - arctan (3) + πn

+2

区間表記

(\frac{π}{4} + πn, \frac{π}{2} + πn) \cup (- \frac{π}{2} + πn, - arctan (3) + πn)

十進法表記

0.78539 \dots + πn < x < 1.57079 \dots + πn or - 1.57079 \dots + πn < x < - 1.24904 \dots + πn

解答ステップ

tan^{2} (x) + 2 tan (x) > 3

仮定:

u = tan (x)

u^{2} + 2 u > 3

u^{2} + 2 u > 3 : u < - 3 or u > 1

u^{2} + 2 u > 3

標準的な形式で書き換える

u^{2} + 2 u > 3

両辺から

3

を引く

u^{2} + 2 u - 3 > 3 - 3

簡素化

u^{2} + 2 u - 3 > 0

u^{2} + 2 u - 3 > 0

因数

u^{2} + 2 u - 3 : (u - 1) (u + 3)

u^{2} + 2 u - 3

式をグループに分ける

u^{2} + 2 u - 3

定義

以下の因数:

3 : 1, 3

3

除数 (因数)

以下の素因数を求める:

3 : 3

3

3

は素数なので, 因数分解できない

= 3

1 を加える

1

以下の因数:

3

1, 3

以下の負の因数:

3 : - 1, - 3

因数に

- 1

を乗じて負の因数を得る

- 1, - 3

u * v = - 3

などの各 2 因数で以下をチェックする:

u + v = 2

以下をチェックする:

u = 1, v = - 3 : u * v = - 3, u + v = - 2 \Rightarrow

偽以下をチェックする:

u = 3, v = - 1 : u * v = - 3, u + v = 2 \Rightarrow

真

u = 3, v = - 1

以下に分ける:

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(u^{2} - u) + (3 u - 3)

= (u^{2} - u) + (3 u - 3)

u

を

u^{2} - u : u (u - 1)

からくくり出す

u^{2} - u

指数の規則を適用する:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= uu - u

共通項をくくり出す

u

= u (u - 1)

3

を

3 u - 3 : 3 (u - 1)

からくくり出す

3 u - 3

共通項をくくり出す

3

= 3 (u - 1)

= u (u - 1) + 3 (u - 1)

共通項をくくり出す

u - 1

= (u - 1) (u + 3)

(u - 1) (u + 3) > 0

区間を特定する

以下の因数の符号を求める:

(u - 1) (u + 3)

以下の符号を求める:

u - 1

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

1

を右側に移動します

u - 1 = 0

両辺に

1

を足す

u - 1 + 1 = 0 + 1

簡素化

u = 1

u = 1

u - 1 < 0 : u < 1

u - 1 < 0

1

を右側に移動します

u - 1 < 0

両辺に

1

を足す

u - 1 + 1 < 0 + 1

簡素化

u < 1

u < 1

u - 1 > 0 : u > 1

u - 1 > 0

1

を右側に移動します

u - 1 > 0

両辺に

1

を足す

u - 1 + 1 > 0 + 1

簡素化

u > 1

u > 1

以下の符号を求める:

u + 3

u + 3 = 0 : u = - 3

u + 3 = 0

3

を右側に移動します

u + 3 = 0

両辺から

3

を引く

u + 3 - 3 = 0 - 3

簡素化

u = - 3

u = - 3

u + 3 < 0 : u < - 3

u + 3 < 0

3

を右側に移動します

u + 3 < 0

両辺から

3

を引く

u + 3 - 3 < 0 - 3

簡素化

u < - 3

u < - 3

u + 3 > 0 : u > - 3

u + 3 > 0

3

を右側に移動します

u + 3 > 0

両辺から

3

を引く

u + 3 - 3 > 0 - 3

簡素化

u > - 3

u > - 3

表で要約する:

u - 1 u + 3 (u - 1) (u + 3) u < - 3 - - + u = - 3 - 00 - 3 < u < 1 - + - u = 1 0 + 0 u > 1 + + +

必要条件を満たす区間を特定する:

> 0

u < - 3 or u > 1

u < - 3 or u > 1

u < - 3 or u > 1

代用を戻す

u = tan (x)

tan (x) < - 3 or tan (x) > 1

tan (x) < - 3 : - \frac{π}{2} + πn < x < - arctan (3) + πn

tan (x) < - 3

tan (x) < a

の場合は

- \frac{π}{2} + πn < x < arctan (a) + πn

- \frac{π}{2} + πn < x < arctan (- 3) + πn

簡素化

arctan (- 3) : - arctan (3)

arctan (- 3)

次のプロパティを使用する:

arctan (- x) = - arctan (x)

arctan (- 3) = - arctan (3)

= - arctan (3)

- \frac{π}{2} + πn < x < - arctan (3) + πn

tan (x) > 1 : \frac{π}{4} + πn < x < \frac{π}{2} + πn

tan (x) > 1

tan (x) > a

の場合は

arctan (a) + πn < x < \frac{π}{2} + πn

arctan (1) + πn < x < \frac{π}{2} + πn

簡素化

arctan (1) : \frac{π}{4}

arctan (1)

次の自明恒等式を使用する:

arctan (1) = \frac{π}{4}

x 0 \frac{3}{3} 13 arctan (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} arctan (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ}

= \frac{π}{4}

\frac{π}{4} + πn < x < \frac{π}{2} + πn

区間を組み合わせる

- \frac{π}{2} + πn < x < - arctan (3) + πn or \frac{π}{4} + πn < x < \frac{π}{2} + πn

重複している区間をマージする

\frac{π}{4} + πn < x < \frac{π}{2} + πn or - \frac{π}{2} + πn < x < - arctan (3) + πn

人気の例

sin^{2} (2 t) < 0

5sin(1/2 (x+pi/4))-1>=-7

5 sin (\frac{1}{2} (x + \frac{π}{4})) - 1 \geq - 7

cos^{2} (x) < \frac{1}{2}

1/(sin^2(x))>= 1

\frac{1}{sin ^{2} ( x )} \geq 1

tan(x)>= 1/(sqrt(3))

tan (x) \geq \frac{1}{3}