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受欢迎的三角函数 >

2sin^2(x)-7sin(x)+3>0

解答

2 sin^{2} (x) - 7 sin (x) + 3 > 0

解答

- \frac{7 π}{6} + 2 πn < x < \frac{π}{6} + 2 πn

+2

间隔符号

(- \frac{7 π}{6} + 2 πn, \frac{π}{6} + 2 πn)

十进制

- 3.66519 \dots + 2 πn < x < 0.52359 \dots + 2 πn

求解步骤

2 sin^{2} (x) - 7 sin (x) + 3 > 0

令

: u = sin (x)

2 u^{2} - 7 u + 3 > 0

2 u^{2} - 7 u + 3 > 0 : u < \frac{1}{2} or u > 3

2 u^{2} - 7 u + 3 > 0

分解

2 u^{2} - 7 u + 3 : (2 u - 1) (u - 3)

2 u^{2} - 7 u + 3

将表达式拆分成组

2 u^{2} - 7 u + 3

定义

6

的因数:

1, 2, 3, 6

6

约数 (因数)

找到

6

的质因数:

2, 3

6

6

除以

26 = 3 \cdot 2

= 2 \cdot 3

2, 3

都是质数，因此无法进一步因数分解

= 2 \cdot 3

添加质因数:

2, 3

将 1 和数字

6

自身相加

1, 6

6

的因数

1, 2, 3, 6

6

的负因数:

- 1, - 2, - 3, - 6

将因数乘以

- 1

得到负因数

- 1, - 2, - 3, - 6

对于每两个因数

u * v = 6

，检验是否

u + v = - 7

检验

u = 1, v = 6 : u * v = 6, u + v = 7 \Rightarrow

假检验

u = 2, v = 3 : u * v = 6, u + v = 5 \Rightarrow

假

u = - 1, v = - 6

分组为

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(2 u^{2} - u) + (- 6 u + 3)

= (2 u^{2} - u) + (- 6 u + 3)

从

2 u^{2} - u

分解出因式

u

:

u (2 u - 1)

2 u^{2} - u

使用指数法则:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 2 uu - u

因式分解出通项

u

= u (2 u - 1)

从

- 6 u + 3

分解出因式

- 3

:

- 3 (2 u - 1)

- 6 u + 3

将

6

改写为

3 \cdot 2

= - 3 \cdot 2 u + 3

因式分解出通项

- 3

= - 3 (2 u - 1)

= u (2 u - 1) - 3 (2 u - 1)

因式分解出通项

2 u - 1

= (2 u - 1) (u - 3)

(2 u - 1) (u - 3) > 0

确定区间

确定

(2 u - 1) (u - 3)

符号

确定

2 u - 1

符号

2 u - 1 = 0 : u = \frac{1}{2}

2 u - 1 = 0

将

1

到右边

2 u - 1 = 0

两边加上

1

2 u - 1 + 1 = 0 + 1

化简

2 u = 1

2 u = 1

两边除以

2

2 u = 1

两边除以

2

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

化简

u = \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0 : u < \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0

将

1

到右边

2 u - 1 < 0

两边加上

1

2 u - 1 + 1 < 0 + 1

化简

2 u < 1

2 u < 1

两边除以

2

2 u < 1

两边除以

2

\frac{2 u}{2} < \frac{1}{2}

化简

u < \frac{1}{2}

u < \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0 : u > \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0

将

1

到右边

2 u - 1 > 0

两边加上

1

2 u - 1 + 1 > 0 + 1

化简

2 u > 1

2 u > 1

两边除以

2

2 u > 1

两边除以

2

\frac{2 u}{2} > \frac{1}{2}

化简

u > \frac{1}{2}

u > \frac{1}{2}

确定

u - 3

符号

u - 3 = 0 : u = 3

u - 3 = 0

将

3

到右边

u - 3 = 0

两边加上

3

u - 3 + 3 = 0 + 3

化简

u = 3

u = 3

u - 3 < 0 : u < 3

u - 3 < 0

将

3

到右边

u - 3 < 0

两边加上

3

u - 3 + 3 < 0 + 3

化简

u < 3

u < 3

u - 3 > 0 : u > 3

u - 3 > 0

将

3

到右边

u - 3 > 0

两边加上

3

u - 3 + 3 > 0 + 3

化简

u > 3

u > 3

总结如下表：

2 u - 1 u - 3 (2 u - 1) (u - 3) u < \frac{1}{2} - - + u = \frac{1}{2} 0 - 0 \frac{1}{2} < u < 3 + - - u = 3 + 00 u > 3 + + +

确定满足所需条件的区间：

> 0

u < \frac{1}{2} or u > 3

u < \frac{1}{2} or u > 3

u < \frac{1}{2} or u > 3

u = sin (x)

代回

sin (x) < \frac{1}{2} or sin (x) > 3

sin (x) < \frac{1}{2} : - \frac{7 π}{6} + 2 πn < x < \frac{π}{6} + 2 πn

sin (x) < \frac{1}{2}

对于

sin (x) < a

，若

- 1 < a \leq 1

，则

- π - arcsin (a) + 2 πn < x < arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn < x < arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

化简

- π - arcsin (\frac{1}{2}) : - \frac{7 π}{6}

- π - arcsin (\frac{1}{2})

使用以下普通恒等式:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= - π - \frac{π}{6}

化简

- π - \frac{π}{6}

将项转换为分式:

π = \frac{π 6}{6}

= - \frac{π 6}{6} - \frac{π}{6}

因为分母相等，所以合并分式:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π 6 - π}{6}

同类项相加:

- 6 π - π = - 7 π

= \frac{- 7 π}{6}

使用分式法则:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{7 π}{6}

= - \frac{7 π}{6}

化简

arcsin (\frac{1}{2}) : \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

使用以下普通恒等式:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

- \frac{7 π}{6} + 2 πn < x < \frac{π}{6} + 2 πn

sin (x) > 3 :

对所有

x \in R

为假

sin (x) > 3

sin (x)

的值域:

- 1 \leq sin (x) \leq 1

函数值域定义

基本

sin

函数的值域为

- 1 \leq sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) \leq 1

sin (x) > 3 and - 1 \leq sin (x) \leq 1 :

假

令

y = sin (x)

合并区间

y > 3 and - 1 \leq y \leq 1

合并重叠的区间

y > 3 and - 1 \leq y \leq 1

两个区间的交集是指同时存在于这两个区间的数的集合

y > 3

and

- 1 \leq y \leq 1

对所有 y \in R 为假

对所有 y \in R 为假

x \in R 无解

对所有 x \in R 为假

合并区间

- \frac{7 π}{6} + 2 πn < x < \frac{π}{6} + 2 πn or 对所有 x \in R 为假

合并重叠的区间

- \frac{7 π}{6} + 2 πn < x < \frac{π}{6} + 2 πn

流行的例子

sin(5x-30)<= (sqrt(3))/2

sin (5 x - 3 0^{\circ}) \leq \frac{3}{2}

sec(x)<0,csc(x)>0,0<= x<= 2pi

sec (x) < 0, csc (x) > 0, 0 \leq x \leq 2 π

2(cos(3x))^2+sqrt(3)sin(6x)<1

2 (cos (3 x))^{2} + 3 sin (6 x) < 1

2cos^2(x)-cos(x)-1<0

2 cos^{2} (x) - cos (x) - 1 < 0

sin (\frac{x}{2}) > 0