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beweisen cos(z)=sin(pi/2+z)

Lösung

beweisen

cos (z) = sin (\frac{π}{2} + z)

Wahr

Schritte zur Lösung

cos (z) = sin (\frac{π}{2} + z)

Manipuliere die rechte Seite

sin (\frac{π}{2} + z)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

sin (\frac{π}{2} + z)

Benutze die Identität der Winkelsumme:

sin (s + t) = sin (s) cos (t) + cos (s) sin (t)

= sin (\frac{π}{2}) cos (z) + cos (\frac{π}{2}) sin (z)

Vereinfache

sin (\frac{π}{2}) cos (z) + cos (\frac{π}{2}) sin (z) : cos (z)

sin (\frac{π}{2}) cos (z) + cos (\frac{π}{2}) sin (z)

sin (\frac{π}{2}) cos (z) = cos (z)

sin (\frac{π}{2}) cos (z)

Vereinfache

sin (\frac{π}{2}) : 1

sin (\frac{π}{2})

Verwende die folgende triviale Identität:

sin (\frac{π}{2}) = 1

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

= 1

= 1 \cdot cos (z)

Multipliziere:

1 \cdot cos (z) = cos (z)

= cos (z)

cos (\frac{π}{2}) sin (z) = 0

cos (\frac{π}{2}) sin (z)

Vereinfache

cos (\frac{π}{2}) : 0

cos (\frac{π}{2})

Verwende die folgende triviale Identität:

cos (\frac{π}{2}) = 0

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= 0

= 0 \cdot sin (z)

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 0

= cos (z) + 0

cos (z) + 0 = cos (z)

= cos (z)

= cos (z)

= cos (z)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e - cos^{2} (2 θ) = \frac{1 + cos ( 4 θ )}{8}

p ro v e tan^{2} (x) = 2 sin^{2} (x) - 1

p ro v e tan (- \frac{π}{2} - θ) = cot (θ)

p ro v e \frac{( 1 + tan ( θ ) )}{( 1 + cot ( θ ) )} = tan (θ)

p ro v e \frac{1}{sin ^{2} ( θ )} = 1 - tan^{2} (θ)