English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

شائع علم المثلثات >

prove cos^4(θ)= 1/4+(cos(2θ))/2+(cos^2(2θ))/4

الحلّ

prove

cos^{4} (θ) = \frac{1}{4} + \frac{cos ( 2 θ )}{2} + \frac{cos ^{2} ( 2 θ )}{4}

الحلّ

صحيح

خطوات الحلّ

cos^{4} (θ) = \frac{1}{4} + \frac{cos ( 2 θ )}{2} + \frac{cos ^{2} ( 2 θ )}{4}

قم بالعمل على الطرف الأيمن

\frac{1}{4} + \frac{cos ( 2 θ )}{2} + \frac{cos ^{2} ( 2 θ )}{4}

Rewrite using trig identities

\frac{1}{4} + \frac{cos ( 2 θ )}{2} + \frac{cos ^{2} ( 2 θ )}{4}

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

:فعّل متطابقة الزاوية المضاعفة

= \frac{1}{4} + \frac{2 cos ^{2} ( θ ) - 1}{2} + \frac{( 2 cos ^{2} ( θ ) - 1 ) ^{2}}{4}

\frac{1}{4} + \frac{2 cos ^{2} ( θ ) - 1}{2} + \frac{( 2 cos ^{2} ( θ ) - 1 ) ^{2}}{4}

بسّط:

cos^{4} (θ)

\frac{1}{4} + \frac{2 cos ^{2} ( θ ) - 1}{2} + \frac{( 2 cos ^{2} ( θ ) - 1 ) ^{2}}{4}

\frac{1}{4} + \frac{( 2 cos ^{2} ( θ ) - 1 ) ^{2}}{4}

وحّد الكسور:

\frac{1 + ( 2 cos ^{2} ( θ ) - 1 ) ^{2}}{4}

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

فعّل القانون

= \frac{1 + ( 2 cos ^{2} ( θ ) - 1 ) ^{2}}{4}

= \frac{( 2 cos ^{2} ( θ ) - 1 ) ^{2} + 1}{4} + \frac{2 cos ^{2} ( θ ) - 1}{2}

\frac{1 + ( 2 cos ^{2} ( θ ) - 1 ) ^{2}}{4} = \frac{2 cos ^{4} ( θ ) - 2 cos ^{2} ( θ ) + 1}{2}

\frac{1 + ( 2 cos ^{2} ( θ ) - 1 ) ^{2}}{4}

1 + (2 cos^{2} (θ) - 1)^{2}

وسٌع:

4 cos^{4} (θ) - 4 cos^{2} (θ) + 2

1 + (2 cos^{2} (θ) - 1)^{2}

(2 cos^{2} (θ) - 1)^{2} : 4 cos^{4} (θ) - 4 cos^{2} (θ) + 1

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

:فعّل صيغة الضرب المختصر

a = 2 cos^{2} (θ), b = 1

= (2 cos^{2} (θ))^{2} - 2 \cdot 2 cos^{2} (θ) \cdot 1 + 1^{2}

(2 cos^{2} (θ))^{2} - 2 \cdot 2 cos^{2} (θ) \cdot 1 + 1^{2}

بسّط:

4 cos^{4} (θ) - 4 cos^{2} (θ) + 1

(2 cos^{2} (θ))^{2} - 2 \cdot 2 cos^{2} (θ) \cdot 1 + 1^{2}

1^{a} = 1

فعّل القانون

1^{2} = 1

= (2 cos^{2} (θ))^{2} - 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot cos^{2} (θ) + 1

(2 cos^{2} (θ))^{2} = 4 cos^{4} (θ)

(2 cos^{2} (θ))^{2}

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

:فعّل قانون القوى

= 2^{2} (cos^{2} (θ))^{2}

(cos^{2} (θ))^{2} : cos^{4} (θ)

(a^{b})^{c} = a^{b c}

:فعّل قانون القوى

= cos^{2 \cdot 2} (θ)

2 \cdot 2 = 4 :

اضرب الأعداد

= cos^{4} (θ)

= 2^{2} cos^{4} (θ)

2^{2} = 4

= 4 cos^{4} (θ)

2 \cdot 2 cos^{2} (θ) \cdot 1 = 4 cos^{2} (θ)

2 \cdot 2 cos^{2} (θ) \cdot 1

2 \cdot 2 \cdot 1 = 4 :

اضرب الأعداد

= 4 cos^{2} (θ)

= 4 cos^{4} (θ) - 4 cos^{2} (θ) + 1

= 4 cos^{4} (θ) - 4 cos^{2} (θ) + 1

= 1 + 4 cos^{4} (θ) - 4 cos^{2} (θ) + 1

1 + 4 cos^{4} (θ) - 4 cos^{2} (θ) + 1

بسّط:

4 cos^{4} (θ) - 4 cos^{2} (θ) + 2

1 + 4 cos^{4} (θ) - 4 cos^{2} (θ) + 1

جمّع التعابير المتشابهة

= 4 cos^{4} (θ) - 4 cos^{2} (θ) + 1 + 1

1 + 1 = 2 :

اجمع الأعداد

= 4 cos^{4} (θ) - 4 cos^{2} (θ) + 2

= 4 cos^{4} (θ) - 4 cos^{2} (θ) + 2

= \frac{4 cos ^{4} ( θ ) - 4 cos ^{2} ( θ ) + 2}{4}

4 cos^{4} (θ) - 4 cos^{2} (θ) + 2

حلل إلى عوامل:

2 (2 cos^{4} (θ) - 2 cos^{2} (θ) + 1)

4 cos^{4} (θ) - 4 cos^{2} (θ) + 2

أعد الكتابة كـ

= 2 \cdot 2 cos^{4} (θ) - 2 \cdot 2 cos^{2} (θ) + 2 \cdot 1

2

قم باخراج العامل المشترك

= 2 (2 cos^{4} (θ) - 2 cos^{2} (θ) + 1)

= \frac{2 ( 2 cos ^{4} ( θ ) - 2 cos ^{2} ( θ ) + 1 )}{4}

2 :

إلغ العوامل المشتركة

= \frac{2 cos ^{4} ( θ ) - 2 cos ^{2} ( θ ) + 1}{2}

= \frac{2 cos ^{4} ( θ ) - 2 cos ^{2} ( θ ) + 1}{2} + \frac{2 cos ^{2} ( θ ) - 1}{2}

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

فعّل القانون

= \frac{2 cos ^{4} ( θ ) - 2 cos ^{2} ( θ ) + 1 + 2 cos ^{2} ( θ ) - 1}{2}

2 cos^{4} (θ) - 2 cos^{2} (θ) + 1 + 2 cos^{2} (θ) - 1 = 2 cos^{4} (θ)

2 cos^{4} (θ) - 2 cos^{2} (θ) + 1 + 2 cos^{2} (θ) - 1

جمّع التعابير المتشابهة

= 2 cos^{4} (θ) - 2 cos^{2} (θ) + 2 cos^{2} (θ) + 1 - 1

- 2 cos^{2} (θ) + 2 cos^{2} (θ) = 0 :

اجمع العناصر المتشابهة

= 2 cos^{4} (θ) + 1 - 1

1 - 1 = 0

= 2 cos^{4} (θ)

= \frac{2 cos ^{4} ( θ )}{2}

\frac{2}{2} = 1 :

اقسم الأعداد

= cos^{4} (θ)

= cos^{4} (θ)

= cos^{4} (θ)

أظهرنا بأنّ الطرفين من الممكن أن تكون لهما نفس الصورة

\Rightarrow صحيح

أمثلة شائعة

prove sin(x)(tan^2(x)+1)=tan(x)sec(x)

p ro v e sin (x) (tan^{2} (x) + 1) = tan (x) sec (x)

prove csc(u)=2

p ro v e csc (u) = 2

prove csc(x)-cos^2(x)-csc(x)=sin(x)

p ro v e csc (x) - cos^{2} (x) - csc (x) = sin (x)

prove 1-(cos^2(x))/(1+sin^2(x))=sin(s)

p ro v e 1 - \frac{cos ^{2} ( x )}{1 + sin ^{2} ( x )} = sin (s)

prove csc(x)= 1/(sin(x))=2

p ro v e csc (x) = \frac{1}{sin ( x )} = 2