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beweisen csc(Θ)+sin(-Θ)=(cos^2(Θ))/(sin(Θ))

Lösung

beweisen

csc (Θ) + sin (- Θ) = \frac{cos ^{2} ( Θ )}{sin ( Θ )}

Wahr

Schritte zur Lösung

csc (Θ) + sin (- Θ) = \frac{cos ^{2} ( Θ )}{sin ( Θ )}

Manipuliere die linke Seite

csc (Θ) + sin (- Θ)

Verwende die negative Winkelidentität:

sin (- x) = - sin (x)

= csc (Θ) - sin (Θ)

Drücke mit sin, cos aus

csc (Θ) - sin (Θ)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{1}{sin ( Θ )} - sin (Θ)

Vereinfache

\frac{1}{sin ( Θ )} - sin (Θ) : \frac{1 - sin ^{2} ( Θ )}{sin ( Θ )}

\frac{1}{sin ( Θ )} - sin (Θ)

Wandle das Element in einen Bruch um:

sin (Θ) = \frac{sin ( Θ ) sin ( Θ )}{sin ( Θ )}

= \frac{1}{sin ( Θ )} - \frac{sin ( Θ ) sin ( Θ )}{sin ( Θ )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 - sin ( Θ ) sin ( Θ )}{sin ( Θ )}

1 - sin (Θ) sin (Θ) = 1 - sin^{2} (Θ)

1 - sin (Θ) sin (Θ)

sin (Θ) sin (Θ) = sin^{2} (Θ)

sin (Θ) sin (Θ)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (Θ) sin (Θ) = sin^{1 + 1} (Θ)

= sin^{1 + 1} (Θ)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= sin^{2} (Θ)

= 1 - sin^{2} (Θ)

= \frac{1 - sin ^{2} ( Θ )}{sin ( Θ )}

= \frac{1 - sin ^{2} ( Θ )}{sin ( Θ )}

= \frac{1 - sin ^{2} ( Θ )}{sin ( Θ )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{1 - sin ^{2} ( Θ )}{sin ( Θ )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - sin^{2} (x) = cos^{2} (x)

= \frac{cos ^{2} ( Θ )}{sin ( Θ )}

= \frac{cos ^{2} ( Θ )}{sin ( Θ )}

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e csc (A) = \frac{cos ( 2 A )}{sin ( A )} + \frac{sin ( 2 A )}{cos ( A )}

p ro v e sin^{2} (θ) = 1 + cos^{2} (θ)

p ro v e sin (\frac{π}{2}) = \frac{4}{2}

p ro v e sec (\frac{π}{4} + a) sec (\frac{π}{4} - a) = 2 sec (2 a)

p ro v e cot^{2} (\frac{v}{2}) = \frac{( sec ( v ) + 1 )}{( sec ( v ) - 1 )}