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beweisen tan^2(t)= 1/(cos^2(t))-1

Lösung

beweisen

tan^{2} (t) = \frac{1}{cos ^{2} ( t )} - 1

Wahr

Schritte zur Lösung

tan^{2} (t) = \frac{1}{cos ^{2} ( t )} - 1

Manipuliere die linke Seite

tan^{2} (t)

Drücke mit sin, cos aus

tan^{2} (t)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= (\frac{sin ( t )}{cos ( t )})^{2}

Vereinfache

(\frac{sin ( t )}{cos ( t )})^{2} : \frac{sin ^{2} ( t )}{cos ^{2} ( t )}

(\frac{sin ( t )}{cos ( t )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{sin ^{2} ( t )}{cos ^{2} ( t )}

= \frac{sin ^{2} ( t )}{cos ^{2} ( t )}

= \frac{sin ^{2} ( t )}{cos ^{2} ( t )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{sin ^{2} ( t )}{cos ^{2} ( t )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= \frac{1 - cos ^{2} ( t )}{cos ^{2} ( t )}

= \frac{1 - cos ^{2} ( t )}{cos ^{2} ( t )}

Multipliziere aus

\frac{1 - cos ^{2} ( t )}{cos ^{2} ( t )} : \frac{1}{cos ^{2} ( t )} - 1

\frac{1 - cos ^{2} ( t )}{cos ^{2} ( t )}

Wende Bruchregel an:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{1 - cos ^{2} ( t )}{cos ^{2} ( t )} = \frac{1}{cos ^{2} ( t )} - \frac{cos ^{2} ( t )}{cos ^{2} ( t )}

= \frac{1}{cos ^{2} ( t )} - \frac{cos ^{2} ( t )}{cos ^{2} ( t )}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

\frac{cos ^{2} ( t )}{cos ^{2} ( t )} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( t )} - 1

= - 1 + \frac{1}{cos ^{2} ( t )}

= \frac{1}{cos ^{2} ( t )} - 1

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e \frac{cot ( θ ) - tan ( θ )}{cot ( θ ) + tan ( θ )} = cos (2 θ)

p ro v e cos^{2} (2 x) + 4 sin^{2} (x) cos^{2} (x) = 1

p ro v e cos (x) (sec (x) - 1) = 1 - cos (x)

p ro v e csc^{2} (θ) (1 - cos^{2} (θ)) = - cos (\frac{π}{2})

p ro v e 4 sin^{2} (x) + 4 cos^{2} (x) = 4