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beweisen sec(x-pi/2)=csc(x)

Lösung

beweisen

sec (x - \frac{π}{2}) = csc (x)

Wahr

Schritte zur Lösung

sec (x - \frac{π}{2}) = csc (x)

Manipuliere die linke Seite

sec (x - \frac{π}{2})

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

sec (x - \frac{π}{2})

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{1}{cos ( x - \frac{π}{2} )}

Benutze die Winkel-Differenz-Identität:

cos (s - t) = cos (s) cos (t) + sin (s) sin (t)

= \frac{1}{cos ( x ) cos ( \frac{π}{2} ) + sin ( x ) sin ( \frac{π}{2} )}

Vereinfache

\frac{1}{cos ( x ) cos ( \frac{π}{2} ) + sin ( x ) sin ( \frac{π}{2} )} : \frac{1}{sin ( x )}

\frac{1}{cos ( x ) cos ( \frac{π}{2} ) + sin ( x ) sin ( \frac{π}{2} )}

cos (x) cos (\frac{π}{2}) + sin (x) sin (\frac{π}{2}) = sin (x)

cos (x) cos (\frac{π}{2}) + sin (x) sin (\frac{π}{2})

cos (x) cos (\frac{π}{2}) = 0

cos (x) cos (\frac{π}{2})

Vereinfache

cos (\frac{π}{2}) : 0

cos (\frac{π}{2})

Verwende die folgende triviale Identität:

cos (\frac{π}{2}) = 0

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= 0

= 0 \cdot cos (x)

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 0

sin (x) sin (\frac{π}{2}) = sin (x)

sin (x) sin (\frac{π}{2})

Vereinfache

sin (\frac{π}{2}) : 1

sin (\frac{π}{2})

Verwende die folgende triviale Identität:

sin (\frac{π}{2}) = 1

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

= 1

= 1 \cdot sin (x)

Multipliziere:

sin (x) \cdot 1 = sin (x)

= sin (x)

= 0 + sin (x)

0 + sin (x) = sin (x)

= sin (x)

= \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{1}{sin ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sin (x) = \frac{1}{csc ( x )}

\frac{1}{\frac{1}{c s c ( x )}}

Vereinfache

\frac{1}{\frac{1}{c s c ( x )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{csc ( x )}{1}

Wende Regel an

\frac{a}{1} = a

= csc (x)

csc (x)

csc (x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e cos (2 v) = \frac{1 - tan ^{2} ( v )}{1 + tan ^{2} ( v )}

p ro v e sin (A) = \frac{1}{csc ( A )}

p ro v e \frac{9}{tan ( x )} + \frac{9}{cot ( x )} = 9 tan (x) + 9 cot (x)

p ro v e sin (2 x) cos (2 x) = 4 sin (x) cos (x)

p ro v e sin (\frac{π}{6} + x) = cos (\frac{π}{3} - x)