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人気のある三角関数 >

証明する 2cos^2(x/2)=(sin^2(x))/(1-cos(x))

解

証明する

2 cos^{2} (\frac{x}{2}) = \frac{sin ^{2} ( x )}{1 - cos ( x )}

解

真

解答ステップ

2 cos^{2} (\frac{x}{2}) = \frac{sin ^{2} ( x )}{1 - cos ( x )}

仮定:

u = \frac{x}{2}

2 cos^{2} (u) = \frac{sin ^{2} ( 2 u )}{1 - cos ( 2 u )}

以下を証明する

2 cos^{2} (u) = \frac{sin ^{2} ( 2 u )}{1 - cos ( 2 u )} :

真

2 cos^{2} (u) = \frac{sin ^{2} ( 2 u )}{1 - cos ( 2 u )}

右側を操作する

\frac{sin ^{2} ( 2 u )}{1 - cos ( 2 u )}

三角関数の公式を使用して書き換える

\frac{sin ^{2} ( 2 u )}{1 - cos ( 2 u )}

ピタゴラスの公式を使用する:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= \frac{1 - cos ^{2} ( 2 u )}{1 - cos ( 2 u )}

簡素化

\frac{1 - cos ^{2} ( 2 u )}{1 - cos ( 2 u )} : cos (2 u) + 1

\frac{1 - cos ^{2} ( 2 u )}{1 - cos ( 2 u )}

因数

1 - cos^{2} (2 u) : - (cos (2 u) + 1) (cos (2 u) - 1)

1 - cos^{2} (2 u)

共通項をくくり出す

- 1

= - (cos^{2} (2 u) - 1)

因数

cos^{2} (2 u) - 1 : (cos (2 u) + 1) (cos (2 u) - 1)

cos^{2} (2 u) - 1

1

を書き換え

1^{2}

= cos^{2} (2 u) - 1^{2}

2乗の差の公式を適用する:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

cos^{2} (2 u) - 1^{2} = (cos (2 u) + 1) (cos (2 u) - 1)

= (cos (2 u) + 1) (cos (2 u) - 1)

= - (cos (2 u) + 1) (cos (2 u) - 1)

= - \frac{( cos ( 2 u ) + 1 ) ( cos ( 2 u ) - 1 )}{1 - cos ( 2 u )}

キャンセル

- \frac{( cos ( 2 u ) + 1 ) ( cos ( 2 u ) - 1 )}{1 - cos ( 2 u )} : cos (2 u) + 1

- \frac{( cos ( 2 u ) + 1 ) ( cos ( 2 u ) - 1 )}{1 - cos ( 2 u )}

- cos (2 u) + 1 = - (cos (2 u) - 1)

= - \frac{( cos ( 2 u ) + 1 ) ( cos ( 2 u ) - 1 )}{- ( cos ( 2 u ) - 1 )}

改良

= \frac{( cos ( 2 u ) + 1 ) ( cos ( 2 u ) - 1 )}{cos ( 2 u ) - 1}

共通因数を約分する:

cos (2 u) - 1

= cos (2 u) + 1

= cos (2 u) + 1

= cos (2 u) + 1

2倍角の公式を使用:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= 2 cos^{2} (u) - 1 + 1

簡素化

= 2 cos^{2} (u)

= 2 cos^{2} (u)

両辺を同じ形式にできることを証明した

\Rightarrow 真

このため

2 cos^{2} (\frac{x}{2}) = \frac{sin ^{2} ( x )}{1 - cos ( x )}

両辺を同じ形式にできることを証明した

\Rightarrow 真

人気の例

証明する sin(a)cos(a)=cos^2(a)tan(a)

p ro v e sin (a) cos (a) = cos^{2} (a) tan (a)

証明する sin(-pi/4)=-sin(pi/4)

p ro v e sin (- \frac{π}{4}) = - sin (\frac{π}{4})

証明する sin(z+w)=sin(z)cos(w)+cos(z)sin(w)

p ro v e sin (z + w) = sin (z) cos (w) + cos (z) sin (w)

証明する tan^2(x)=((1-cos(2x)))/(1+cos(2x))

p ro v e tan^{2} (x) = \frac{( 1 - cos ( 2 x ) )}{1 + cos ( 2 x )}

証明する cos(0)tan(0)=sin(0)

p ro v e cos (0) tan (0) = sin (0)