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dimostrare (sin(x+y))/(sin(x)cos(y))=1+cot(x)tan(y)

Soluzione

dimostrare

\frac{sin ( x + y )}{sin ( x ) cos ( y )} = 1 + cot (x) tan (y)

Vero

Fasi della soluzione

\frac{sin ( x + y )}{sin ( x ) cos ( y )} = 1 + cot (x) tan (y)

Manipolando il lato sinistro

\frac{sin ( x + y )}{sin ( x ) cos ( y )}

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

\frac{sin ( x + y )}{sin ( x ) cos ( y )}

Usa la formula della somma degli angoli:

sin (s + t) = sin (s) cos (t) + cos (s) sin (t)

= \frac{sin ( x ) cos ( y ) + cos ( x ) sin ( y )}{sin ( x ) cos ( y )}

= \frac{sin ( x ) cos ( y ) + cos ( x ) sin ( y )}{sin ( x ) cos ( y )}

Manipolando il lato destro

1 + cot (x) tan (y)

Esprimere con sen e cos

1 + cot (x) tan (y)

Usare l'identità trigonometrica di base:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= 1 + \frac{cos ( x )}{sin ( x )} tan (y)

Usare l'identità trigonometrica di base:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= 1 + \frac{cos ( x )}{sin ( x )} \cdot \frac{sin ( y )}{cos ( y )}

Semplifica

1 + \frac{cos ( x )}{sin ( x )} \cdot \frac{sin ( y )}{cos ( y )} : \frac{sin ( x ) cos ( y ) + cos ( x ) sin ( y )}{sin ( x ) cos ( y )}

1 + \frac{cos ( x )}{sin ( x )} \cdot \frac{sin ( y )}{cos ( y )}

Moltiplicare

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} \cdot \frac{sin ( y )}{cos ( y )} : \frac{cos ( x ) sin ( y )}{sin ( x ) cos ( y )}

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} \cdot \frac{sin ( y )}{cos ( y )}

Moltiplica le frazioni:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{cos ( x ) sin ( y )}{sin ( x ) cos ( y )}

= 1 + \frac{cos ( x ) sin ( y )}{sin ( x ) cos ( y )}

Converti l'elemento in frazione:

1 = \frac{1 sin ( x ) cos ( y )}{sin ( x ) cos ( y )}

= \frac{1 \cdot sin ( x ) cos ( y )}{sin ( x ) cos ( y )} + \frac{cos ( x ) sin ( y )}{sin ( x ) cos ( y )}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot sin ( x ) cos ( y ) + cos ( x ) sin ( y )}{sin ( x ) cos ( y )}

Moltiplicare:

1 \cdot sin (x) = sin (x)

= \frac{sin ( x ) cos ( y ) + cos ( x ) sin ( y )}{sin ( x ) cos ( y )}

= \frac{sin ( x ) cos ( y ) + cos ( x ) sin ( y )}{sin ( x ) cos ( y )}

= \frac{cos ( x ) sin ( y ) + cos ( y ) sin ( x )}{cos ( y ) sin ( x )}

Abbiamo mostrato che i due lati possono prendere la stessa forma

\Rightarrow Vero

p ro v e sin^{2} (2 x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} cos (4 x)

p ro v e \frac{1}{1 + tan ( x ) tan ( 2 x )} = cos (2 x)

p ro v e (1 + csc (x)) (1 - sin (x)) = cot (x) cos (x)

p ro v e arcsec (x) = \frac{1}{sec ( x )}

p ro v e cos (4 x) cos (2 x) = cos^{2} (3 x) - cos^{2} (x)