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beweisen 1-(cos^2(u))/(1-sin(u))=-sin(u)

Lösung

beweisen

1 - \frac{cos ^{2} ( u )}{1 - sin ( u )} = - sin (u)

Wahr

Schritte zur Lösung

1 - \frac{cos ^{2} ( u )}{1 - sin ( u )} = - sin (u)

Manipuliere die linke Seite

1 - \frac{cos ^{2} ( u )}{1 - sin ( u )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

1 - \frac{cos ^{2} ( u )}{1 - sin ( u )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= 1 - \frac{1 - sin ^{2} ( u )}{1 - sin ( u )}

Vereinfache

1 - \frac{1 - sin ^{2} ( u )}{1 - sin ( u )} : - sin (u)

1 - \frac{1 - sin ^{2} ( u )}{1 - sin ( u )}

Streiche

\frac{1 - sin ^{2} ( u )}{1 - sin ( u )} : sin (u) + 1

\frac{1 - sin ^{2} ( u )}{1 - sin ( u )}

Faktorisiere

1 - sin^{2} (u) : - (sin (u) + 1) (sin (u) - 1)

1 - sin^{2} (u)

Klammere gleiche Terme aus

- 1

= - (sin^{2} (u) - 1)

Faktorisiere

sin^{2} (u) - 1 : (sin (u) + 1) (sin (u) - 1)

sin^{2} (u) - 1

Schreibe

1

um:

1^{2}

= sin^{2} (u) - 1^{2}

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

sin^{2} (u) - 1^{2} = (sin (u) + 1) (sin (u) - 1)

= (sin (u) + 1) (sin (u) - 1)

= - (sin (u) + 1) (sin (u) - 1)

= - \frac{( sin ( u ) + 1 ) ( sin ( u ) - 1 )}{1 - sin ( u )}

Streiche

- \frac{( sin ( u ) + 1 ) ( sin ( u ) - 1 )}{1 - sin ( u )} : sin (u) + 1

- \frac{( sin ( u ) + 1 ) ( sin ( u ) - 1 )}{1 - sin ( u )}

- sin (u) + 1 = - (sin (u) - 1)

= - \frac{( sin ( u ) + 1 ) ( sin ( u ) - 1 )}{- ( sin ( u ) - 1 )}

Fasse zusammen

= \frac{( sin ( u ) + 1 ) ( sin ( u ) - 1 )}{sin ( u ) - 1}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sin (u) - 1

= sin (u) + 1

= sin (u) + 1

= 1 - (sin (u) + 1)

- (sin (u) + 1) : - sin (u) - 1

- (sin (u) + 1)

Setze Klammern

= - (sin (u)) - (1)

Wende Minus-Plus Regeln an

+ (- a) = - a

= - sin (u) - 1

= 1 - sin (u) - 1

Vereinfache

1 - sin (u) - 1 : - sin (u)

1 - sin (u) - 1

Fasse gleiche Terme zusammen

= - sin (u) + 1 - 1

1 - 1 = 0

= - sin (u)

= - sin (u)

= - sin (u)

= - sin (u)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e sin^{2} (t) = \frac{1 - cos ( 2 t )}{2}

p ro v e tan (1 5^{\circ}) = tan (4 5^{\circ} - 3 0^{\circ})

p ro v e sec (x) sin (2 x) = 2 sin (x)

p ro v e sec (x) cot (x) - cot (x) cos (x) = sin (x)

p ro v e cos (x) \cdot cot (x) = csc (x) - sin (x)