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Beliebt Trigonometrie >

beweisen tan(2x)= 1/(1-tan(x))-1/(1+tan(x))

Lösung

beweisen

tan (2 x) = \frac{1}{1 - tan ( x )} - \frac{1}{1 + tan ( x )}

Lösung

Wahr

Schritte zur Lösung

tan (2 x) = \frac{1}{1 - tan ( x )} - \frac{1}{1 + tan ( x )}

Manipuliere die rechte Seite

\frac{1}{1 - tan ( x )} - \frac{1}{1 + tan ( x )}

Vereinfache

- \frac{1}{1 + tan ( x )} + \frac{1}{1 - tan ( x )} : \frac{2 tan ( x )}{( tan ( x ) + 1 ) ( - tan ( x ) + 1 )}

- \frac{1}{1 + tan ( x )} + \frac{1}{1 - tan ( x )}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

1 + tan (x), 1 - tan (x) : (tan (x) + 1) (- tan (x) + 1)

1 + tan (x), 1 - tan (x)

kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

Finde einen mathematischen Ausdruck, der aus Faktoren besteht, die entweder in

1 + tan (x)

oder

1 - tan (x)

auftauchen.

= (tan (x) + 1) (- tan (x) + 1)

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

(tan (x) + 1) (- tan (x) + 1)

Für

\frac{1}{1 + tan ( x )} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

- tan (x) + 1

\frac{1}{1 + tan ( x )} = \frac{1 \cdot ( - tan ( x ) + 1 )}{( 1 + tan ( x ) ) ( - tan ( x ) + 1 )} = \frac{- tan ( x ) + 1}{( tan ( x ) + 1 ) ( - tan ( x ) + 1 )}

Für

\frac{1}{1 - tan ( x )} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

tan (x) + 1

\frac{1}{1 - tan ( x )} = \frac{1 \cdot ( tan ( x ) + 1 )}{( 1 - tan ( x ) ) ( tan ( x ) + 1 )} = \frac{tan ( x ) + 1}{( tan ( x ) + 1 ) ( - tan ( x ) + 1 )}

= - \frac{- tan ( x ) + 1}{( tan ( x ) + 1 ) ( - tan ( x ) + 1 )} + \frac{tan ( x ) + 1}{( tan ( x ) + 1 ) ( - tan ( x ) + 1 )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- ( - tan ( x ) + 1 ) + tan ( x ) + 1}{( tan ( x ) + 1 ) ( - tan ( x ) + 1 )}

Multipliziere aus

- (- tan (x) + 1) + tan (x) + 1 : 2 tan (x)

- (- tan (x) + 1) + tan (x) + 1

- (- tan (x) + 1) : tan (x) - 1

- (- tan (x) + 1)

Setze Klammern

= - (- tan (x)) - (1)

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, - (a) = - a

= tan (x) - 1

= tan (x) - 1 + tan (x) + 1

Vereinfache

tan (x) - 1 + tan (x) + 1 : 2 tan (x)

tan (x) - 1 + tan (x) + 1

Fasse gleiche Terme zusammen

= tan (x) + tan (x) - 1 + 1

Addiere gleiche Elemente:

tan (x) + tan (x) = 2 tan (x)

= 2 tan (x) - 1 + 1

- 1 + 1 = 0

= 2 tan (x)

= 2 tan (x)

= \frac{2 tan ( x )}{( tan ( x ) + 1 ) ( - tan ( x ) + 1 )}

= \frac{2 tan ( x )}{( 1 + tan ( x ) ) ( 1 - tan ( x ) )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{2 tan ( x )}{( 1 + tan ( x ) ) ( 1 - tan ( x ) )}

Multipliziere aus

\frac{2 tan ( x )}{( 1 + tan ( x ) ) ( 1 - tan ( x ) )} : \frac{2 tan ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )}

\frac{2 tan ( x )}{( 1 + tan ( x ) ) ( 1 - tan ( x ) )}

Multipliziere aus

(1 + tan (x)) (1 - tan (x)) : 1 - tan^{2} (x)

(1 + tan (x)) (1 - tan (x))

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = 1, b = tan (x)

= 1^{2} - tan^{2} (x)

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - tan^{2} (x)

= \frac{2 tan ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )}

= \frac{2 tan ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )}

Verwende die Doppelwinkelidentität:

\frac{2 tan ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )} = tan (2 x)

= tan (2 x)

= tan (2 x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Beliebte Beispiele

beweisen sin(2x)=(2cot(x))/(csc^2(x))

p ro v e sin (2 x) = \frac{2 cot ( x )}{csc ^{2} ( x )}

beweisen 2sin(θ)cos(θ)=sin(2θ)

p ro v e 2 sin (θ) cos (θ) = sin (2 θ)

beweisen (1+tan^2(x))/(tan(x))=sec(x)csc(x)

p ro v e \frac{1 + tan ^{2} ( x )}{tan ( x )} = sec (x) csc (x)

beweisen (sec^4(α)-1)/(tan^2(α))=sec^2(α)+1

p ro v e \frac{sec ^{4} ( α ) - 1}{tan ^{2} ( α )} = sec^{2} (α) + 1

beweisen 2sin(x)=(4cos(x)-1)/(tan(x))

p ro v e 2 sin (x) = \frac{4 cos ( x ) - 1}{tan ( x )}