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beweisen csc(pi/2-u)=sec(u)

Lösung

beweisen

csc (\frac{π}{2} - u) = sec (u)

Wahr

Schritte zur Lösung

csc (\frac{π}{2} - u) = sec (u)

Manipuliere die linke Seite

csc (\frac{π}{2} - u)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

csc (\frac{π}{2} - u)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{1}{sin ( \frac{π}{2} - u )}

Benutze die Winkel-Differenz-Identität:

sin (s - t) = sin (s) cos (t) - cos (s) sin (t)

= \frac{1}{sin ( \frac{π}{2} ) cos ( u ) - cos ( \frac{π}{2} ) sin ( u )}

Vereinfache

\frac{1}{sin ( \frac{π}{2} ) cos ( u ) - cos ( \frac{π}{2} ) sin ( u )} : \frac{1}{cos ( u )}

\frac{1}{sin ( \frac{π}{2} ) cos ( u ) - cos ( \frac{π}{2} ) sin ( u )}

sin (\frac{π}{2}) cos (u) - cos (\frac{π}{2}) sin (u) = cos (u)

sin (\frac{π}{2}) cos (u) - cos (\frac{π}{2}) sin (u)

sin (\frac{π}{2}) cos (u) = cos (u)

sin (\frac{π}{2}) cos (u)

Vereinfache

sin (\frac{π}{2}) : 1

sin (\frac{π}{2})

Verwende die folgende triviale Identität:

sin (\frac{π}{2}) = 1

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

= 1

= 1 \cdot cos (u)

Multipliziere:

1 \cdot cos (u) = cos (u)

= cos (u)

cos (\frac{π}{2}) sin (u) = 0

cos (\frac{π}{2}) sin (u)

Vereinfache

cos (\frac{π}{2}) : 0

cos (\frac{π}{2})

Verwende die folgende triviale Identität:

cos (\frac{π}{2}) = 0

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= 0

= 0 \cdot sin (u)

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 0

= cos (u) - 0

cos (u) - 0 = cos (u)

= cos (u)

= \frac{1}{cos ( u )}

= \frac{1}{cos ( u )}

= \frac{1}{cos ( u )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

\frac{1}{\frac{1}{s e c ( u )}}

Vereinfache

\frac{1}{\frac{1}{s e c ( u )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{sec ( u )}{1}

Wende Regel an

\frac{a}{1} = a

= sec (u)

sec (u)

sec (u)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e - 2 sin (k - l) sin (k + l) = cos (2 k) - cos (2 l)

p ro v e cos (θ - 6 0^{\circ}) + cos (θ + 6 0^{\circ}) = cos (θ)

p ro v e tan (2 A) = \frac{2 tan ( A )}{1 - tan ^{2} ( A )}

p ro v e sin (x) tan (x) sec (x) = sec^{2} (x) - 1

p ro v e tan^{4} (k) - sec^{4} (k) = 1 - 2 sec^{2} (k)