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provar 2cos^2(a)=(1+sec(2a))cos(2a)

Solução

provar

2 cos^{2} (a) = (1 + sec (2 a)) cos (2 a)

Verdadeiro

Passos da solução

2 cos^{2} (a) = (1 + sec (2 a)) cos (2 a)

Manipular o lado esquerdo

(1 + sec (2 a)) cos (2 a)

Expresar com seno, cosseno

(1 + sec (2 a)) cos (2 a)

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= (1 + \frac{1}{cos ( 2 a )}) cos (2 a)

Simplificar

(1 + \frac{1}{cos ( 2 a )}) cos (2 a) : cos (2 a) + 1

(1 + \frac{1}{cos ( 2 a )}) cos (2 a)

Simplificar

1 + \frac{1}{cos ( 2 a )}

em uma fração:

\frac{cos ( 2 a ) + 1}{cos ( 2 a )}

1 + \frac{1}{cos ( 2 a )}

Converter para fração:

1 = \frac{1 cos ( 2 a )}{cos ( 2 a )}

= \frac{1 \cdot cos ( 2 a )}{cos ( 2 a )} + \frac{1}{cos ( 2 a )}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ( 2 a ) + 1}{cos ( 2 a )}

Multiplicar:

1 \cdot cos (2 a) = cos (2 a)

= \frac{cos ( 2 a ) + 1}{cos ( 2 a )}

= \frac{cos ( 2 a ) + 1}{cos ( 2 a )} cos (2 a)

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( cos ( 2 a ) + 1 ) cos ( 2 a )}{cos ( 2 a )}

Eliminar o fator comum:

cos (2 a)

= cos (2 a) + 1

= cos (2 a) + 1

= 1 + cos (2 a)

Reeecreva usando identidades trigonométricas

1 + cos (2 a)

Utilizar a identidade trigonométrica do arco duplo:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= 1 + 2 cos^{2} (a) - 1

Simplificar

1 + 2 cos^{2} (a) - 1 : 2 cos^{2} (a)

1 + 2 cos^{2} (a) - 1

Agrupar termos semelhantes

= 2 cos^{2} (a) + 1 - 1

1 - 1 = 0

= 2 cos^{2} (a)

= 2 cos^{2} (a)

= 2 cos^{2} (a)

Demonstramos que os dois lados podem adquirir a mesma forma

\Rightarrow Verdadeiro

p ro v e sin (\frac{13 π}{2} + x) = cos (x)

p ro v e tan^{2} (- θ) + 1 = sec^{2} (θ)

p ro v e \frac{1 + csc ( β )}{cot ( β ) + cos ( β )} = sec (β)

p ro v e (1 - cos (b)) (1 + cos (b)) = \frac{1}{csc ^{2} ( b )}

p ro v e tan (- 7) = tan (π - 7)