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beweisen-csc^2(x)cos^2(x)=1-csc^2(x)

Lösung

beweisen

- csc^{2} (x) cos^{2} (x) = 1 - csc^{2} (x)

Wahr

Schritte zur Lösung

- csc^{2} (x) cos^{2} (x) = 1 - csc^{2} (x)

Manipuliere die rechte Seite

1 - csc^{2} (x)

Drücke mit sin, cos aus

1 - csc^{2} (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= 1 - (\frac{1}{sin ( x )})^{2}

Vereinfache

1 - (\frac{1}{sin ( x )})^{2} : \frac{sin ^{2} ( x ) - 1}{sin ^{2} ( x )}

1 - (\frac{1}{sin ( x )})^{2}

(\frac{1}{sin ( x )})^{2} = \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

(\frac{1}{sin ( x )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{sin ^{2} ( x )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

= 1 - \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{1 \cdot sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} - \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot sin ^{2} ( x ) - 1}{sin ^{2} ( x )}

Multipliziere:

1 \cdot sin^{2} (x) = sin^{2} (x)

= \frac{sin ^{2} ( x ) - 1}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{sin ^{2} ( x ) - 1}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{- 1 + sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{- 1 + sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - sin^{2} (x) = cos^{2} (x)

= \frac{- cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= - \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sin (x) = \frac{1}{csc ( x )}

- \frac{cos ^{2} ( x )}{( \frac{1}{c s c ( x )} ) ^{2}}

Vereinfache

- \frac{cos ^{2} ( x )}{( \frac{1}{c s c ( x )} ) ^{2}}

(\frac{1}{csc ( x )})^{2} = \frac{1}{csc ^{2} ( x )}

(\frac{1}{csc ( x )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{csc ^{2} ( x )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{csc ^{2} ( x )}

= - \frac{cos ^{2} ( x )}{\frac{1}{c s c ^{2} ( x )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= - \frac{cos ^{2} ( x ) csc ^{2} ( x )}{1}

Wende Regel an

\frac{a}{1} = a

= - cos^{2} (x) csc^{2} (x)

- cos^{2} (x) csc^{2} (x)

- cos^{2} (x) csc^{2} (x)

= - csc^{2} (x) cos^{2} (x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e \frac{csc ^{2} ( A )}{1 + tan ^{2} ( A )} = cot^{2} (A)

p ro v e sin (3 a) = 3 sin (a) - 4 sin^{3} (a)

p ro v e \frac{1 - sin ( x )}{1 - csc ( x )} = - sin (x)

p ro v e 1 + cos (10 y) = 2 cos^{2} (5 y)

p ro v e sin (\frac{π}{6}) = \frac{1}{2}