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beweisen (tan^2(θ))/(sec(θ))=sin(θ)tan(θ)

Lösung

beweisen

\frac{tan ^{2} ( θ )}{sec ( θ )} = sin (θ) tan (θ)

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{tan ^{2} ( θ )}{sec ( θ )} = sin (θ) tan (θ)

Manipuliere die linke Seite

\frac{tan ^{2} ( θ )}{sec ( θ )}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{tan ^{2} ( θ )}{sec ( θ )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{( \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )} ) ^{2}}{sec ( θ )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{( \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )} ) ^{2}}{\frac{1}{c o s ( θ )}}

Vereinfache

\frac{( \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )} ) ^{2}}{\frac{1}{c o s ( θ )}} : \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ )}

\frac{( \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )} ) ^{2}}{\frac{1}{c o s ( θ )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{( \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )} ) ^{2} cos ( θ )}{1}

(\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )})^{2} = \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

(\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{\frac{s i n ^{2} ( θ )}{c o s ^{2} ( θ )} cos ( θ )}{1}

Multipliziere

\frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )} cos (θ) : \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ )}

\frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )} cos (θ)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ^{2} ( θ ) cos ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos (θ)

= \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ )}

= \frac{\frac{s i n ^{2} ( θ )}{c o s ( θ )}}{1}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{1} = a

= \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ )}

= \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ )}

= \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= sin (θ) \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

sin (θ) tan (θ)

sin (θ) tan (θ)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e csc^{2} (x) (1 - sin^{2} (x)) = cot^{2} (x)

p ro v e sin (3 x) = (sin (x)) (4 cos^{2} (x) - 1)

p ro v e tan (x + \frac{π}{2}) = - cot (x)

p ro v e \frac{cos ( π - x )}{cos ( \frac{π}{2} + x )} = cot (x)

p ro v e cot (θ) + tan (θ) = 2 csc (2 θ)