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受欢迎的三角函数 >

证明 tan(x)-tan(y)=(sin(x-y))/(cos(x)cos(y))

解答

证明

tan (x) - tan (y) = \frac{sin ( x - y )}{cos ( x ) cos ( y )}

解答

真

求解步骤

tan (x) - tan (y) = \frac{sin ( x - y )}{cos ( x ) cos ( y )}

调整左侧

tan (x) - tan (y)

用 sin, cos 表示

tan (x) - tan (y)

使用基本三角恒等式:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - tan (y)

使用基本三角恒等式:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - \frac{sin ( y )}{cos ( y )}

化简

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} - \frac{sin ( y )}{cos ( y )} : \frac{sin ( x ) cos ( y ) - cos ( x ) sin ( y )}{cos ( x ) cos ( y )}

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} - \frac{sin ( y )}{cos ( y )}

cos (x), cos (y)

的最小公倍数:

cos (x) cos (y)

cos (x), cos (y)

最小公倍数 (LCM)

计算出由出现在

cos (x)

或

cos (y)

中的因子组成的表达式

= cos (x) cos (y)

根据最小公倍数调整分式

将每个分子乘以其分母转变为最小公倍数所要乘以的同一数值

cos (x) cos (y)

对于

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} :

将分母和分子乘以

cos (y)

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = \frac{sin ( x ) cos ( y )}{cos ( x ) cos ( y )}

对于

\frac{sin ( y )}{cos ( y )} :

将分母和分子乘以

cos (x)

\frac{sin ( y )}{cos ( y )} = \frac{sin ( y ) cos ( x )}{cos ( y ) cos ( x )}

= \frac{sin ( x ) cos ( y )}{cos ( x ) cos ( y )} - \frac{sin ( y ) cos ( x )}{cos ( y ) cos ( x )}

因为分母相等，所以合并分式:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ( x ) cos ( y ) - sin ( y ) cos ( x )}{cos ( x ) cos ( y )}

= \frac{sin ( x ) cos ( y ) - cos ( x ) sin ( y )}{cos ( x ) cos ( y )}

= \frac{- cos ( x ) sin ( y ) + cos ( y ) sin ( x )}{cos ( x ) cos ( y )}

调整右侧

\frac{sin ( x - y )}{cos ( x ) cos ( y )}

使用三角恒等式改写

\frac{sin ( x - y )}{cos ( x ) cos ( y )}

使用角差恒等式:

sin (s - t) = sin (s) cos (t) - cos (s) sin (t)

= \frac{sin ( x ) cos ( y ) - cos ( x ) sin ( y )}{cos ( x ) cos ( y )}

= \frac{sin ( x ) cos ( y ) - cos ( x ) sin ( y )}{cos ( x ) cos ( y )}

我们已展示，在两侧可以有相同的形式

\Rightarrow 真

流行的例子

证明 1+cos(2x)+2sin^2(x)=2

p ro v e 1 + cos (2 x) + 2 sin^{2} (x) = 2

证明 1/(tan(x)+cot(x))=sin(x)cos(x)

p ro v e \frac{1}{tan ( x ) + cot ( x )} = sin (x) cos (x)

证明 tan^3(x)=tan(x)sec^2(x)-tan(x)

p ro v e tan^{3} (x) = tan (x) sec^{2} (x) - tan (x)

证明 cos(θ)(sec(θ)-cos(θ))=sin^2(θ)

p ro v e cos (θ) (sec (θ) - cos (θ)) = sin^{2} (θ)

证明 (2cot(x))/(csc^2(x))=sin(2x)

p ro v e \frac{2 cot ( x )}{csc ^{2} ( x )} = sin (2 x)