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beweisen csc(θ)-sin(θ)=cos(θ)cot(θ)

Lösung

beweisen

csc (θ) - sin (θ) = cos (θ) cot (θ)

Wahr

Schritte zur Lösung

csc (θ) - sin (θ) = cos (θ) cot (θ)

Manipuliere die linke Seite

csc (θ) - sin (θ)

Drücke mit sin, cos aus

csc (θ) - sin (θ)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{1}{sin ( θ )} - sin (θ)

Vereinfache

\frac{1}{sin ( θ )} - sin (θ) : \frac{1 - sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ )}

\frac{1}{sin ( θ )} - sin (θ)

Wandle das Element in einen Bruch um:

sin (θ) = \frac{sin ( θ ) sin ( θ )}{sin ( θ )}

= \frac{1}{sin ( θ )} - \frac{sin ( θ ) sin ( θ )}{sin ( θ )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 - sin ( θ ) sin ( θ )}{sin ( θ )}

1 - sin (θ) sin (θ) = 1 - sin^{2} (θ)

1 - sin (θ) sin (θ)

sin (θ) sin (θ) = sin^{2} (θ)

sin (θ) sin (θ)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (θ) sin (θ) = sin^{1 + 1} (θ)

= sin^{1 + 1} (θ)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= sin^{2} (θ)

= 1 - sin^{2} (θ)

= \frac{1 - sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ )}

= \frac{1 - sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ )}

= \frac{1 - sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{1 - sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - sin^{2} (x) = cos^{2} (x)

= \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ( θ )}

= \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ( θ )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= cos (θ) \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} = cot (x)

cos (θ) cot (θ)

cos (θ) cot (θ)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e sec (x) (1 - sin^{2} (x)) = cos (x)

p ro v e (1 - cos^{2} (θ)) (1 + cot^{2} (θ)) = 1

p ro v e cot (x) sin (x) = cos (x)

p ro v e sin (2 x) + cos (2 x) - 1 = 2 sin (x) (cos (x) - sin (x))

p ro v e (csc^{2} (x) - 1) sin (x) = cot (x) cos (x)