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Beliebt Trigonometrie >

cos^2(θ)-3/2 cos(2θ)=0

Lösung

cos^{2} (θ) - \frac{3}{2} cos (2 θ) = 0

Lösung

θ = \frac{5 π}{6} + πn, θ = \frac{π}{6} + πn

Grad

θ = 15 0^{\circ} + 18 0^{\circ} n, θ = 3 0^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

cos^{2} (θ) - \frac{3}{2} cos (2 θ) = 0

Vereinfache

cos^{2} (θ) - \frac{3}{2} cos (2 θ) : \frac{2 cos ^{2} ( θ ) - 3 cos ( 2 θ )}{2}

cos^{2} (θ) - \frac{3}{2} cos (2 θ)

Multipliziere

\frac{3}{2} cos (2 θ) : \frac{3 cos ( 2 θ )}{2}

\frac{3}{2} cos (2 θ)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{3 cos ( 2 θ )}{2}

= cos^{2} (θ) - \frac{3 cos ( 2 θ )}{2}

Wandle das Element in einen Bruch um:

cos^{2} (θ) = \frac{cos ^{2} ( θ ) 2}{2}

= \frac{cos ^{2} ( θ ) \cdot 2}{2} - \frac{3 cos ( 2 θ )}{2}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ^{2} ( θ ) \cdot 2 - 3 cos ( 2 θ )}{2}

\frac{2 cos ^{2} ( θ ) - 3 cos ( 2 θ )}{2} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

2 cos^{2} (θ) - 3 cos (2 θ) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

2 cos^{2} (θ) - 3 cos (2 θ)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = cos^{2} (x) - sin^{2} (x)

= 2 cos^{2} (θ) - 3 (cos^{2} (θ) - sin^{2} (θ))

Vereinfache

2 cos^{2} (θ) - 3 (cos^{2} (θ) - sin^{2} (θ)) : - cos^{2} (θ) + 3 sin^{2} (θ)

2 cos^{2} (θ) - 3 (cos^{2} (θ) - sin^{2} (θ))

Multipliziere aus

- 3 (cos^{2} (θ) - sin^{2} (θ)) : - 3 cos^{2} (θ) + 3 sin^{2} (θ)

- 3 (cos^{2} (θ) - sin^{2} (θ))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = - 3, b = cos^{2} (θ), c = sin^{2} (θ)

= - 3 cos^{2} (θ) - (- 3) sin^{2} (θ)

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a

= - 3 cos^{2} (θ) + 3 sin^{2} (θ)

= 2 cos^{2} (θ) - 3 cos^{2} (θ) + 3 sin^{2} (θ)

Addiere gleiche Elemente:

2 cos^{2} (θ) - 3 cos^{2} (θ) = - cos^{2} (θ)

= - cos^{2} (θ) + 3 sin^{2} (θ)

= - cos^{2} (θ) + 3 sin^{2} (θ)

- cos^{2} (θ) + 3 sin^{2} (θ) = 0

Faktorisiere

- cos^{2} (θ) + 3 sin^{2} (θ) : (3 sin (θ) + cos (θ)) (3 sin (θ) - cos (θ))

- cos^{2} (θ) + 3 sin^{2} (θ)

Schreibe

3 sin^{2} (θ) - cos^{2} (θ)

um:

(3 sin (θ))^{2} - cos^{2} (θ)

3 sin^{2} (θ) - cos^{2} (θ)

Wende Radikal Regel an:

a = (a)^{2}

3 = (3)^{2}

= (3)^{2} sin^{2} (θ) - cos^{2} (θ)

Wende Exponentenregel an:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

(3)^{2} sin^{2} (θ) = (3 sin (θ))^{2}

= (3 sin (θ))^{2} - cos^{2} (θ)

= (3 sin (θ))^{2} - cos^{2} (θ)

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(3 sin (θ))^{2} - cos^{2} (θ) = (3 sin (θ) + cos (θ)) (3 sin (θ) - cos (θ))

= (3 sin (θ) + cos (θ)) (3 sin (θ) - cos (θ))

(3 sin (θ) + cos (θ)) (3 sin (θ) - cos (θ)) = 0

Löse jeden Teil einzeln

3 sin (θ) + cos (θ) = 0 or 3 sin (θ) - cos (θ) = 0

3 sin (θ) + cos (θ) = 0 : θ = \frac{5 π}{6} + πn

3 sin (θ) + cos (θ) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

3 sin (θ) + cos (θ) = 0

Teile beide Seiten durch

cos (θ), cos (θ) \neq = 0

\frac{3 sin ( θ ) + cos ( θ )}{cos ( θ )} = \frac{0}{cos ( θ )}

Vereinfache

\frac{3 sin ( θ )}{cos ( θ )} + 1 = 0

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

3 tan (θ) + 1 = 0

3 tan (θ) + 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

3 tan (θ) + 1 = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

3 tan (θ) + 1 - 1 = 0 - 1

Vereinfache

3 tan (θ) = - 1

3 tan (θ) = - 1

Teile beide Seiten durch

3

3 tan (θ) = - 1

Teile beide Seiten durch

3

\frac{3 tan ( θ )}{3} = \frac{- 1}{3}

Vereinfache

\frac{3 tan ( θ )}{3} = \frac{- 1}{3}

Vereinfache

\frac{3 tan ( θ )}{3} : tan (θ)

\frac{3 tan ( θ )}{3}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

3

= tan (θ)

Vereinfache

\frac{- 1}{3} : - \frac{3}{3}

\frac{- 1}{3}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1}{3}

Rationalisiere

- \frac{1}{3} : - \frac{3}{3}

- \frac{1}{3}

Multipliziere mit dem Konjugat

\frac{3}{3}

= - \frac{1 \cdot 3}{3 3}

1 \cdot 3 = 3

33 = 3

33

Wende Radikal Regel an:

a a = a

33 = 3

= 3

= - \frac{3}{3}

= - \frac{3}{3}

tan (θ) = - \frac{3}{3}

tan (θ) = - \frac{3}{3}

tan (θ) = - \frac{3}{3}

Allgemeine Lösung für

tan (θ) = - \frac{3}{3}

tan (x)

Periodizitätstabelle mit

πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

θ = \frac{5 π}{6} + πn

θ = \frac{5 π}{6} + πn

3 sin (θ) - cos (θ) = 0 : θ = \frac{π}{6} + πn

3 sin (θ) - cos (θ) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

3 sin (θ) - cos (θ) = 0

Teile beide Seiten durch

cos (θ), cos (θ) \neq = 0

\frac{3 sin ( θ ) - cos ( θ )}{cos ( θ )} = \frac{0}{cos ( θ )}

Vereinfache

\frac{3 sin ( θ )}{cos ( θ )} - 1 = 0

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

3 tan (θ) - 1 = 0

3 tan (θ) - 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

3 tan (θ) - 1 = 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

3 tan (θ) - 1 + 1 = 0 + 1

Vereinfache

3 tan (θ) = 1

3 tan (θ) = 1

Teile beide Seiten durch

3

3 tan (θ) = 1

Teile beide Seiten durch

3

\frac{3 tan ( θ )}{3} = \frac{1}{3}

Vereinfache

\frac{3 tan ( θ )}{3} = \frac{1}{3}

Vereinfache

\frac{3 tan ( θ )}{3} : tan (θ)

\frac{3 tan ( θ )}{3}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

3

= tan (θ)

Vereinfache

\frac{1}{3} : \frac{3}{3}

\frac{1}{3}

Multipliziere mit dem Konjugat

\frac{3}{3}

= \frac{1 \cdot 3}{3 3}

1 \cdot 3 = 3

33 = 3

33

Wende Radikal Regel an:

a a = a

33 = 3

= 3

= \frac{3}{3}

tan (θ) = \frac{3}{3}

tan (θ) = \frac{3}{3}

tan (θ) = \frac{3}{3}

Allgemeine Lösung für

tan (θ) = \frac{3}{3}

tan (x)

Periodizitätstabelle mit

πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

θ = \frac{π}{6} + πn

θ = \frac{π}{6} + πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = \frac{5 π}{6} + πn, θ = \frac{π}{6} + πn

Graph

Beliebte Beispiele

sinh(x)= 3/4 ,cosh(x)

sinh (x) = \frac{3}{4}, cosh (x)

tan(θ)=1.4739716

tan (θ) = 1.4739716

cos(2x)=cos(1/2)

cos (2 x) = cos (\frac{1}{2})

cos(x)= 3/10

cos (x) = \frac{3}{10}

5cos(3x+60)=4

5 cos (3 x + 60) = 4