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arccos(x)-arcsin(x)=arccos((sqrt(3))/2)

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Solution

arccos(x)−arcsin(x)=arccos(23​​)

Solution

x=21​
étapes des solutions
arccos(x)−arcsin(x)=arccos(23​​)
a=b⇒cos(a)=cos(b)cos(arccos(x)−arcsin(x))=cos(arccos(23​​))
Utiliser les identités suivantes: cos(s−t)=cos(s)cos(t)+sin(s)sin(t)cos(arccos(x))cos(arcsin(x))+sin(arccos(x))sin(arcsin(x))=cos(arccos(23​​))
Utiliser l'identité suivante : cos(arccos(x))=x
Utiliser l'identité suivante : cos(arcsin(x))=1−x2​
Utiliser l'identité suivante : sin(arccos(x))=1−x2​
Utiliser l'identité suivante : sin(arcsin(x))=x
x1−x2​+1−x2​x=23​​
Résoudre x1−x2​+1−x2​x=23​​:x=21​,x=23​​
x1−x2​+1−x2​x=23​​
Multiplier les deux côtés par 2x1−x2​⋅2+1−x2​x⋅2=23​​⋅2
Simplifier41−x2​x=3​
Mettre les deux côtés au carré:16x2−16x4=3
41−x2​x=3​
(41−x2​x)2=(3​)2
Développer (41−x2​x)2:16x2−16x4
(41−x2​x)2
Appliquer la règle de l'exposant: (a⋅b)n=anbn=42x2(1−x2​)2
(1−x2​)2:1−x2
Appliquer la règle des radicaux: a​=a21​=((1−x2)21​)2
Appliquer la règle de l'exposant: (ab)c=abc=(1−x2)21​⋅2
21​⋅2=1
21​⋅2
Multiplier des fractions: a⋅cb​=ca⋅b​=21⋅2​
Annuler le facteur commun : 2=1
=1−x2
=42(1−x2)x2
42=16=16(1−x2)x2
Développer 16(1−x2)x2:16x2−16x4
16(1−x2)x2
=16x2(1−x2)
Appliquer la loi de la distribution: a(b−c)=ab−aca=16x2,b=1,c=x2=16x2⋅1−16x2x2
=16⋅1⋅x2−16x2x2
Simplifier 16⋅1⋅x2−16x2x2:16x2−16x4
16⋅1⋅x2−16x2x2
16⋅1⋅x2=16x2
16⋅1⋅x2
Multiplier les nombres : 16⋅1=16=16x2
16x2x2=16x4
16x2x2
Appliquer la règle de l'exposant: ab⋅ac=ab+cx2x2=x2+2=16x2+2
Additionner les nombres : 2+2=4=16x4
=16x2−16x4
=16x2−16x4
=16x2−16x4
Développer (3​)2:3
(3​)2
Appliquer la règle des radicaux: a​=a21​=(321​)2
Appliquer la règle de l'exposant: (ab)c=abc=321​⋅2
21​⋅2=1
21​⋅2
Multiplier des fractions: a⋅cb​=ca⋅b​=21⋅2​
Annuler le facteur commun : 2=1
=3
16x2−16x4=3
16x2−16x4=3
Résoudre 16x2−16x4=3:x=21​,x=−21​,x=23​​,x=−23​​
16x2−16x4=3
Déplacer 3vers la gauche
16x2−16x4=3
Soustraire 3 des deux côtés16x2−16x4−3=3−3
Simplifier16x2−16x4−3=0
16x2−16x4−3=0
Ecrire sous la forme standard an​xn+…+a1​x+a0​=0−16x4+16x2−3=0
Récrire l'équation avec u=x2 et u2=x4−16u2+16u−3=0
Résoudre −16u2+16u−3=0:u=41​,u=43​
−16u2+16u−3=0
Résoudre par la formule quadratique
−16u2+16u−3=0
Formule de l'équation quadratique:
Pour a=−16,b=16,c=−3u1,2​=2(−16)−16±162−4(−16)(−3)​​
u1,2​=2(−16)−16±162−4(−16)(−3)​​
162−4(−16)(−3)​=8
162−4(−16)(−3)​
Appliquer la règle −(−a)=a=162−4⋅16⋅3​
Multiplier les nombres : 4⋅16⋅3=192=162−192​
162=256=256−192​
Soustraire les nombres : 256−192=64=64​
Factoriser le nombre : 64=82=82​
Appliquer la règle des radicaux: nan​=a82​=8=8
u1,2​=2(−16)−16±8​
Séparer les solutionsu1​=2(−16)−16+8​,u2​=2(−16)−16−8​
u=2(−16)−16+8​:41​
2(−16)−16+8​
Retirer les parenthèses: (−a)=−a=−2⋅16−16+8​
Additionner/Soustraire les nombres : −16+8=−8=−2⋅16−8​
Multiplier les nombres : 2⋅16=32=−32−8​
Appliquer la règle des fractions: −b−a​=ba​=328​
Annuler le facteur commun : 8=41​
u=2(−16)−16−8​:43​
2(−16)−16−8​
Retirer les parenthèses: (−a)=−a=−2⋅16−16−8​
Soustraire les nombres : −16−8=−24=−2⋅16−24​
Multiplier les nombres : 2⋅16=32=−32−24​
Appliquer la règle des fractions: −b−a​=ba​=3224​
Annuler le facteur commun : 8=43​
Les solutions de l'équation de forme quadratique sont :u=41​,u=43​
u=41​,u=43​
Resubstituer u=x2,résoudre pour x
Résoudre x2=41​:x=21​,x=−21​
x2=41​
Pour x2=f(a) les solutions sont x=f(a)​,−f(a)​
x=41​​,x=−41​​
41​​=21​
41​​
Appliquer la règle des radicaux: ba​​=b​a​​,a≥0,b≥0=4​1​​
Appliquer la règle des radicaux: 1​=11​=1=4​1​
4​=2
4​
Factoriser le nombre : 4=22=22​
Appliquer la règle des radicaux: a2​=a,a≥022​=2=2
=21​
−41​​=−21​
−41​​
Appliquer la règle des radicaux: ba​​=b​a​​,a≥0,b≥0=−4​1​​
Appliquer la règle des radicaux: 1​=11​=1=−4​1​
4​=2
4​
Factoriser le nombre : 4=22=22​
Appliquer la règle des radicaux: a2​=a,a≥022​=2=2
=−21​
x=21​,x=−21​
Résoudre x2=43​:x=23​​,x=−23​​
x2=43​
Pour x2=f(a) les solutions sont x=f(a)​,−f(a)​
x=43​​,x=−43​​
43​​=23​​
43​​
Appliquer la règle des radicaux: ba​​=b​a​​,a≥0,b≥0=4​3​​
4​=2
4​
Factoriser le nombre : 4=22=22​
Appliquer la règle des radicaux: a2​=a,a≥022​=2=2
=23​​
−43​​=−23​​
−43​​
Appliquer la règle des radicaux: ba​​=b​a​​,a≥0,b≥0=−4​3​​
4​=2
4​
Factoriser le nombre : 4=22=22​
Appliquer la règle des radicaux: a2​=a,a≥022​=2=2
=−23​​
x=23​​,x=−23​​
Les solutions sont
x=21​,x=−21​,x=23​​,x=−23​​
x=21​,x=−21​,x=23​​,x=−23​​
Vérifier les solutions:x=21​vrai,x=−21​Faux,x=23​​vrai,x=−23​​Faux
Vérifier des solutions en les intégrant dans x1−x2​+1−x2​x=23​​
Retirer celles qui ne répondent pas à l'équation.
Insérer x=21​:vrai
(21​)1−(21​)2​+1−(21​)2​(21​)=23​​
(21​)1−(21​)2​+1−(21​)2​(21​)=23​​
(21​)1−(21​)2​+1−(21​)2​(21​)
Retirer les parenthèses: (a)=a=21​1−(21​)2​+1−(21​)2​21​
Factoriser le terme commun 1−(21​)2​=1−(21​)2​(21​+21​)
21​+21​=1
21​+21​
Appliquer la règle ca​±cb​=ca±b​=21+1​
Additionner les nombres : 1+1=2=22​
Appliquer la règle aa​=1=1
=1−(21​)2​
(21​)2=221​
(21​)2
Appliquer la règle de l'exposant: (ba​)c=bcac​=2212​
Appliquer la règle 1a=112=1=221​
=1−221​​
22=4=1−41​​
Relier 1−41​:43​
1−41​
Convertir un élément en fraction: 1=41⋅4​=41⋅4​−41​
Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions: ca​±cb​=ca±b​=41⋅4−1​
1⋅4−1=3
1⋅4−1
Multiplier les nombres : 1⋅4=4=4−1
Soustraire les nombres : 4−1=3=3
=43​
=43​​
Appliquer la règle des radicaux : nba​​=nb​na​​, en supposant a≥0,b≥0=4​3​​
4​=2
4​
Factoriser le nombre : 4=22=22​
Appliquer la règle des radicaux: nan​=a22​=2=2
=23​​
23​​=23​​
vrai
Insérer x=−21​:Faux
(−21​)1−(−21​)2​+1−(−21​)2​(−21​)=23​​
(−21​)1−(−21​)2​+1−(−21​)2​(−21​)=−23​​
(−21​)1−(−21​)2​+1−(−21​)2​(−21​)
Retirer les parenthèses: (−a)=−a=−21​1−(−21​)2​−1−(−21​)2​21​
Factoriser le terme commun 1−(−21​)2​=1−(−21​)2​(−21​−21​)
−21​−21​=−1
−21​−21​
Appliquer la règle ca​±cb​=ca±b​=2−1−1​
Soustraire les nombres : −1−1=−2=2−2​
Appliquer la règle des fractions: b−a​=−ba​=−22​
Appliquer la règle aa​=1=−1
=−−(−21​)2+1​
(−21​)2=221​
(−21​)2
Appliquer la règle de l'exposant: (−a)n=an,si n pair(−21​)2=(21​)2=(21​)2
Appliquer la règle de l'exposant: (ba​)c=bcac​=2212​
Appliquer la règle 1a=112=1=221​
=−−221​+1​
22=4=−−41​+1​
Relier 1−41​:43​
1−41​
Convertir un élément en fraction: 1=41⋅4​=41⋅4​−41​
Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions: ca​±cb​=ca±b​=41⋅4−1​
1⋅4−1=3
1⋅4−1
Multiplier les nombres : 1⋅4=4=4−1
Soustraire les nombres : 4−1=3=3
=43​
=−43​​
Simplifier 43​​:23​​
43​​
Appliquer la règle des radicaux : nba​​=nb​na​​, en supposant a≥0,b≥0=4​3​​
4​=2
4​
Factoriser le nombre : 4=22=22​
Appliquer la règle des radicaux: nan​=a22​=2=2
=23​​
=−23​​
−23​​=23​​
Faux
Insérer x=23​​:vrai
(23​​)1−(23​​)2​+1−(23​​)2​(23​​)=23​​
(23​​)1−(23​​)2​+1−(23​​)2​(23​​)=23​​
(23​​)1−(23​​)2​+1−(23​​)2​(23​​)
Retirer les parenthèses: (a)=a=23​​1−(23​​)2​+1−(23​​)2​23​​
Factoriser le terme commun 1−(23​​)2​=1−(23​​)2​(23​​+23​​)
23​​+23​​=3​
23​​+23​​
Appliquer la règle ca​±cb​=ca±b​=23​+3​​
Factoriser 3​+3​:23​
3​+3​
Factoriser le terme commun 3​=3​(1+1)
Redéfinir=23​
=223​​
Diviser les nombres : 22​=1=3​
=3​−(23​​)2+1​
1−(23​​)2​=21​
1−(23​​)2​
(23​​)2=43​
(23​​)2
Appliquer la règle de l'exposant: (ba​)c=bcac​=22(3​)2​
(3​)2:3
Appliquer la règle des radicaux: a​=a21​=(321​)2
Appliquer la règle de l'exposant: (ab)c=abc=321​⋅2
21​⋅2=1
21​⋅2
Multiplier des fractions: a⋅cb​=ca⋅b​=21⋅2​
Annuler le facteur commun : 2=1
=3
=223​
22=4=43​
=1−43​​
Relier 1−43​:41​
1−43​
Convertir un élément en fraction: 1=41⋅4​=41⋅4​−43​
Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions: ca​±cb​=ca±b​=41⋅4−3​
1⋅4−3=1
1⋅4−3
Multiplier les nombres : 1⋅4=4=4−3
Soustraire les nombres : 4−3=1=1
=41​
=41​​
Appliquer la règle des radicaux : nba​​=nb​na​​, en supposant a≥0,b≥0=4​1​​
4​=2
4​
Factoriser le nombre : 4=22=22​
Appliquer la règle des radicaux: nan​=a22​=2=2
=21​​
Appliquer la règle 1​=1=21​
=3​21​
Multiplier des fractions: a⋅cb​=ca⋅b​=21⋅3​​
Multiplier: 1⋅3​=3​=23​​
23​​=23​​
vrai
Insérer x=−23​​:Faux
(−23​​)1−(−23​​)2​+1−(−23​​)2​(−23​​)=23​​
(−23​​)1−(−23​​)2​+1−(−23​​)2​(−23​​)=−23​​
(−23​​)1−(−23​​)2​+1−(−23​​)2​(−23​​)
Retirer les parenthèses: (−a)=−a=−23​​1−(−23​​)2​−1−(−23​​)2​23​​
Factoriser le terme commun 1−(−23​​)2​=1−(−23​​)2​(−23​​−23​​)
−23​​−23​​=−3​
−23​​−23​​
Appliquer la règle ca​±cb​=ca±b​=2−3​−3​​
Factoriser −3​−3​:−23​
−3​−3​
Factoriser le terme commun 3​=−3​(1+1)
Redéfinir=−23​
=−223​​
Diviser les nombres : 22​=1=−3​
=−3​−(−23​​)2+1​
1−(−23​​)2​=21​
1−(−23​​)2​
(−23​​)2=43​
(−23​​)2
Appliquer la règle de l'exposant: (−a)n=an,si n pair(−23​​)2=(23​​)2=(23​​)2
Appliquer la règle de l'exposant: (ba​)c=bcac​=22(3​)2​
(3​)2:3
Appliquer la règle des radicaux: a​=a21​=(321​)2
Appliquer la règle de l'exposant: (ab)c=abc=321​⋅2
21​⋅2=1
21​⋅2
Multiplier des fractions: a⋅cb​=ca⋅b​=21⋅2​
Annuler le facteur commun : 2=1
=3
=223​
22=4=43​
=1−43​​
Relier 1−43​:41​
1−43​
Convertir un élément en fraction: 1=41⋅4​=41⋅4​−43​
Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions: ca​±cb​=ca±b​=41⋅4−3​
1⋅4−3=1
1⋅4−3
Multiplier les nombres : 1⋅4=4=4−3
Soustraire les nombres : 4−3=1=1
=41​
=41​​
Appliquer la règle des radicaux : nba​​=nb​na​​, en supposant a≥0,b≥0=4​1​​
4​=2
4​
Factoriser le nombre : 4=22=22​
Appliquer la règle des radicaux: nan​=a22​=2=2
=21​​
Appliquer la règle 1​=1=21​
=−3​21​
Multiplier des fractions: a⋅cb​=ca⋅b​=−21⋅3​​
Multiplier: 1⋅3​=3​=−23​​
−23​​=23​​
Faux
Les solutions sontx=21​,x=23​​
x=21​,x=23​​
Vérifier les solutions en les intégrant dans l'équation d'origine
Vérifier des solutions en les intégrant dans arccos(x)−arcsin(x)=arccos(23​​)
Retirer celles qui ne répondent pas à l'équation.
Vérifier la solution 21​:vrai
21​
Insérer n=121​
Pour arccos(x)−arcsin(x)=arccos(23​​)insérerx=21​arccos(21​)−arcsin(21​)=arccos(23​​)
Redéfinir0.52359…=0.52359…
⇒vrai
Vérifier la solution 23​​:Faux
23​​
Insérer n=123​​
Pour arccos(x)−arcsin(x)=arccos(23​​)insérerx=23​​arccos(23​​)−arcsin(23​​)=arccos(23​​)
Redéfinir−0.52359…=0.52359…
⇒Faux
x=21​

Graphe

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Exemples populaires

1/4 sin(4t)=041​sin(4t)=02cos(4x)=2cos^2(2x)-sin(2x)-12cos(4x)=2cos2(2x)−sin(2x)−11-sin^2(θ)=01−sin2(θ)=02sin^2(x)+csc^2(x)=32sin2(x)+csc2(x)=3sin(α)= 8/17sin(α)=178​
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