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Beliebt Trigonometrie >

4sin^3(θ)=3sin(θ)

Lösung

4 sin^{3} (θ) = 3 sin (θ)

Lösung

θ = 2 πn, θ = π + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn

Grad

θ = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 24 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 30 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 12 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

4 sin^{3} (θ) = 3 sin (θ)

Löse mit Substitution

4 sin^{3} (θ) = 3 sin (θ)

Angenommen:

sin (θ) = u

4 u^{3} = 3 u

4 u^{3} = 3 u : u = 0, u = - \frac{3}{2}, u = \frac{3}{2}

4 u^{3} = 3 u

Verschiebe

3 u

auf die linke Seite

4 u^{3} = 3 u

Subtrahiere

3 u

von beiden Seiten

4 u^{3} - 3 u = 3 u - 3 u

Vereinfache

4 u^{3} - 3 u = 0

4 u^{3} - 3 u = 0

Faktorisiere

4 u^{3} - 3 u : u (2 u + 3) (2 u - 3)

4 u^{3} - 3 u

Klammere gleiche Terme aus

u : u (4 u^{2} - 3)

4 u^{3} - 3 u

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{3} = u^{2} u

= 4 u^{2} u - 3 u

Klammere gleiche Terme aus

u

= u (4 u^{2} - 3)

= u (4 u^{2} - 3)

Faktorisiere

4 u^{2} - 3 : (2 u + 3) (2 u - 3)

4 u^{2} - 3

Schreibe

4 u^{2} - 3

um:

(2 u)^{2} - (3)^{2}

4 u^{2} - 3

Schreibe

4

um:

2^{2}

= 2^{2} u^{2} - 3

Wende Radikal Regel an:

a = (a)^{2}

3 = (3)^{2}

= 2^{2} u^{2} - (3)^{2}

Wende Exponentenregel an:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

2^{2} u^{2} = (2 u)^{2}

= (2 u)^{2} - (3)^{2}

= (2 u)^{2} - (3)^{2}

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(2 u)^{2} - (3)^{2} = (2 u + 3) (2 u - 3)

= (2 u + 3) (2 u - 3)

= u (2 u + 3) (2 u - 3)

u (2 u + 3) (2 u - 3) = 0

Anwendung des Nullfaktorprinzips: Wenn

ab = 0

dann

a = 0

oder

b = 0

u = 0 or 2 u + 3 = 0 or 2 u - 3 = 0

Löse

2 u + 3 = 0 : u = - \frac{3}{2}

2 u + 3 = 0

Verschiebe

3

auf die rechte Seite

2 u + 3 = 0

Subtrahiere

3

von beiden Seiten

2 u + 3 - 3 = 0 - 3

Vereinfache

2 u = - 3

2 u = - 3

Teile beide Seiten durch

2

2 u = - 3

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 u}{2} = \frac{- 3}{2}

Vereinfache

u = - \frac{3}{2}

u = - \frac{3}{2}

Löse

2 u - 3 = 0 : u = \frac{3}{2}

2 u - 3 = 0

Verschiebe

3

auf die rechte Seite

2 u - 3 = 0

Füge

3

zu beiden Seiten hinzu

2 u - 3 + 3 = 0 + 3

Vereinfache

2 u = 3

2 u = 3

Teile beide Seiten durch

2

2 u = 3

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 u}{2} = \frac{3}{2}

Vereinfache

u = \frac{3}{2}

u = \frac{3}{2}

Die Lösungen sind

u = 0, u = - \frac{3}{2}, u = \frac{3}{2}

Setze in

u = sin (θ)

ein

sin (θ) = 0, sin (θ) = - \frac{3}{2}, sin (θ) = \frac{3}{2}

sin (θ) = 0, sin (θ) = - \frac{3}{2}, sin (θ) = \frac{3}{2}

sin (θ) = 0 : θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

sin (θ) = 0

Allgemeine Lösung für

sin (θ) = 0

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

θ = 0 + 2 πn, θ = π + 2 πn

θ = 0 + 2 πn, θ = π + 2 πn

Löse

θ = 0 + 2 πn : θ = 2 πn

θ = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

θ = 2 πn

θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

sin (θ) = - \frac{3}{2} : θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

sin (θ) = - \frac{3}{2}

Allgemeine Lösung für

sin (θ) = - \frac{3}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

sin (θ) = \frac{3}{2} : θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn

sin (θ) = \frac{3}{2}

Allgemeine Lösung für

sin (θ) = \frac{3}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn

θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = 2 πn, θ = π + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

cos(2x)=1-3cos(x)

cos (2 x) = 1 - 3 cos (x)

4tan(3x)=4

4 tan (3 x) = 4

7cos(b)+9=3cos(b)+8

7 cos (b) + 9 = 3 cos (b) + 8

tan^2(θ)+sec(θ)-2=0

tan^{2} (θ) + sec (θ) - 2 = 0

tan(x)-1=-sqrt(3)+sqrt(3)cot(x)

tan (x) - 1 = - 3 + 3 cot (x)