English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Beliebt Trigonometrie >

1+cos(θ)=sqrt(3)sin(θ)

Lösung

1 + cos (θ) = 3 sin (θ)

Lösung

θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = π + 2 πn

Grad

θ = 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

1 + cos (θ) = 3 sin (θ)

Quadriere beide Seiten

(1 + cos (θ))^{2} = (3 sin (θ))^{2}

Subtrahiere

(3 sin (θ))^{2}

von beiden Seiten

(1 + cos (θ))^{2} - 3 sin^{2} (θ) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

(1 + cos (θ))^{2} - 3 sin^{2} (θ)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= (1 + cos (θ))^{2} - 3 (1 - cos^{2} (θ))

Vereinfache

(1 + cos (θ))^{2} - 3 (1 - cos^{2} (θ)) : 4 cos^{2} (θ) + 2 cos (θ) - 2

(1 + cos (θ))^{2} - 3 (1 - cos^{2} (θ))

(1 + cos (θ))^{2} : 1 + 2 cos (θ) + cos^{2} (θ)

Wende Formel für perfekte quadratische Gleichungen an:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = 1, b = cos (θ)

= 1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot cos (θ) + cos^{2} (θ)

Vereinfache

1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot cos (θ) + cos^{2} (θ) : 1 + 2 cos (θ) + cos^{2} (θ)

1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot cos (θ) + cos^{2} (θ)

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 + 2 \cdot 1 \cdot cos (θ) + cos^{2} (θ)

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= 1 + 2 cos (θ) + cos^{2} (θ)

= 1 + 2 cos (θ) + cos^{2} (θ)

= 1 + 2 cos (θ) + cos^{2} (θ) - 3 (1 - cos^{2} (θ))

Multipliziere aus

- 3 (1 - cos^{2} (θ)) : - 3 + 3 cos^{2} (θ)

- 3 (1 - cos^{2} (θ))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = - 3, b = 1, c = cos^{2} (θ)

= - 3 \cdot 1 - (- 3) cos^{2} (θ)

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a

= - 3 \cdot 1 + 3 cos^{2} (θ)

Multipliziere die Zahlen:

3 \cdot 1 = 3

= - 3 + 3 cos^{2} (θ)

= 1 + 2 cos (θ) + cos^{2} (θ) - 3 + 3 cos^{2} (θ)

Vereinfache

1 + 2 cos (θ) + cos^{2} (θ) - 3 + 3 cos^{2} (θ) : 4 cos^{2} (θ) + 2 cos (θ) - 2

1 + 2 cos (θ) + cos^{2} (θ) - 3 + 3 cos^{2} (θ)

Fasse gleiche Terme zusammen

= 2 cos (θ) + cos^{2} (θ) + 3 cos^{2} (θ) + 1 - 3

Addiere gleiche Elemente:

cos^{2} (θ) + 3 cos^{2} (θ) = 4 cos^{2} (θ)

= 2 cos (θ) + 4 cos^{2} (θ) + 1 - 3

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

1 - 3 = - 2

= 4 cos^{2} (θ) + 2 cos (θ) - 2

= 4 cos^{2} (θ) + 2 cos (θ) - 2

= 4 cos^{2} (θ) + 2 cos (θ) - 2

- 2 + 2 cos (θ) + 4 cos^{2} (θ) = 0

Löse mit Substitution

- 2 + 2 cos (θ) + 4 cos^{2} (θ) = 0

Angenommen:

cos (θ) = u

- 2 + 2 u + 4 u^{2} = 0

- 2 + 2 u + 4 u^{2} = 0 : u = \frac{1}{2}, u = - 1

- 2 + 2 u + 4 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

4 u^{2} + 2 u - 2 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

4 u^{2} + 2 u - 2 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 4, b = 2, c = - 2

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 2 )}{2 \cdot 4}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 2 )}{2 \cdot 4}

2^{2} - 4 \cdot 4 (- 2) = 6

2^{2} - 4 \cdot 4 (- 2)

Wende Regel an

- (- a) = a

= 2^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 4 \cdot 2 = 32

= 2^{2} + 32

2^{2} = 4

= 4 + 32

Addiere die Zahlen:

4 + 32 = 36

= 36

Faktorisiere die Zahl:

36 = 6^{2}

= 6^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

6^{2} = 6

= 6

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 6}{2 \cdot 4}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 2 + 6}{2 \cdot 4}, u_{2} = \frac{- 2 - 6}{2 \cdot 4}

u = \frac{- 2 + 6}{2 \cdot 4} : \frac{1}{2}

\frac{- 2 + 6}{2 \cdot 4}

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 2 + 6 = 4

= \frac{4}{2 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{4}{8}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

4

= \frac{1}{2}

u = \frac{- 2 - 6}{2 \cdot 4} : - 1

\frac{- 2 - 6}{2 \cdot 4}

Subtrahiere die Zahlen:

- 2 - 6 = - 8

= \frac{- 8}{2 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 8}{8}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{8}{8}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= - 1

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{1}{2}, u = - 1

Setze in

u = cos (θ)

ein

cos (θ) = \frac{1}{2}, cos (θ) = - 1

cos (θ) = \frac{1}{2}, cos (θ) = - 1

cos (θ) = \frac{1}{2} : θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (θ) = \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = \frac{1}{2}

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (θ) = - 1 : θ = π + 2 πn

cos (θ) = - 1

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = - 1

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = π + 2 πn

θ = π + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn, θ = π + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

1 + cos (θ) = 3 sin (θ)

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

\frac{π}{3} + 2 πn :

Wahr

\frac{π}{3} + 2 πn

Setze ein

n = 1

\frac{π}{3} + 2 π 1

Setze

θ = \frac{π}{3} + 2 π 1

1 + cos (θ) = 3 sin (θ)

ein, um zu lösen

1 + cos (\frac{π}{3} + 2 π 1) = 3 sin (\frac{π}{3} + 2 π 1)

Fasse zusammen

1.5 = 1.5

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

\frac{5 π}{3} + 2 πn :

Falsch

\frac{5 π}{3} + 2 πn

Setze ein

n = 1

\frac{5 π}{3} + 2 π 1

Setze

θ = \frac{5 π}{3} + 2 π 1

1 + cos (θ) = 3 sin (θ)

ein, um zu lösen

1 + cos (\frac{5 π}{3} + 2 π 1) = 3 sin (\frac{5 π}{3} + 2 π 1)

Fasse zusammen

1.5 = - 1.5

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

π + 2 πn :

Wahr

π + 2 πn

Setze ein

n = 1

π + 2 π 1

Setze

θ = π + 2 π 1

1 + cos (θ) = 3 sin (θ)

ein, um zu lösen

1 + cos (π + 2 π 1) = 3 sin (π + 2 π 1)

Fasse zusammen

0 = 0

\Rightarrow Wahr

θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = π + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

tan(θ)= 3/10

tan (θ) = \frac{3}{10}

tan(θ)=-2/9

tan (θ) = - \frac{2}{9}

arctan(y)= pi/4

arctan (y) = \frac{π}{4}

arctan(x)=sqrt(3)

arctan (x) = 3

cot(4x)=0

cot (4 x) = 0