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Populaire Trigonométrie >

solvefor x,sqrt(1+sin^3(xy^2))=y

Solution

résoudre pour

x, 1 + sin^{3} (x y^{2}) = y

Solution

x = \frac{arcsin ( 3 y ^{2} - 1 )}{y ^{2}} + \frac{2 πn}{y ^{2}}, x = \frac{π}{y ^{2}} + \frac{arcsin ( - 3 y ^{2} - 1 )}{y ^{2}} + \frac{2 πn}{y ^{2}}

Radians

x = \frac{arcsin ( 3 y ^{2} - 1 )}{y ^{2}} + \frac{2 π}{y ^{2}} n, x = \frac{π}{y ^{2}} + \frac{arcsin ( - 3 y ^{2} - 1 )}{y ^{2}} + \frac{2 π}{y ^{2}} n

étapes des solutions

1 + sin^{3} (x y^{2}) = y

Mettre les deux côtés au carré:

1 + sin^{3} (x y^{2}) = y^{2}

1 + sin^{3} (x y^{2}) = y

(1 + sin^{3} (x y^{2}))^{2} = y^{2}

Développer

(1 + sin^{3} (x y^{2}))^{2} : 1 + sin^{3} (x y^{2})

(1 + sin^{3} (x y^{2}))^{2}

Appliquer la règle des radicaux:

a = a^{\frac{1}{2}}

= ((1 + sin^{3} (x y^{2}))^{\frac{1}{2}})^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= (1 + sin^{3} (x y^{2}))^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Annuler le facteur commun :

2

= 1

= 1 + sin^{3} (x y^{2})

1 + sin^{3} (x y^{2}) = y^{2}

1 + sin^{3} (x y^{2}) = y^{2}

Résoudre

1 + sin^{3} (x y^{2}) = y^{2} : sin (x y^{2}) = 3 y^{2} - 1

1 + sin^{3} (x y^{2}) = y^{2}

Déplacer

1

vers la droite

1 + sin^{3} (x y^{2}) = y^{2}

Soustraire

1

des deux côtés

1 + sin^{3} (x y^{2}) - 1 = y^{2} - 1

Simplifier

sin^{3} (x y^{2}) = y^{2} - 1

sin^{3} (x y^{2}) = y^{2} - 1

Pour

x^{n} = f (a)

, n est impaire, la solution est

x = n f (a)

sin (x y^{2}) = 3 y^{2} - 1

sin (x y^{2}) = 3 y^{2} - 1

Vérifier les solutions:

sin (x y^{2}) = 3 y^{2} - 1 {y \geq 0}

Vérifier des solutions en les intégrant dans

1 + sin^{3} (x y^{2}) = y

Retirer celles qui ne répondent pas à l'équation.

Intégrer

sin (x y^{2}) = 3 y^{2} - 1 : 1 + (3 y^{2} - 1)^{3} = y \Rightarrow y \geq 0

1 + (3 y^{2} - 1)^{3} = y

Mettre les deux côtés au carré:

y^{2} = y^{2}

1 + (3 y^{2} - 1)^{3} = y

(1 + (3 y^{2} - 1)^{3})^{2} = y^{2}

Développer

(1 + (3 y^{2} - 1)^{3})^{2} : y^{2}

(1 + (3 y^{2} - 1)^{3})^{2}

Appliquer la règle des radicaux:

a = a^{\frac{1}{2}}

= ((1 + (3 y^{2} - 1)^{3})^{\frac{1}{2}})^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= (1 + (3 y^{2} - 1)^{3})^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Annuler le facteur commun :

2

= 1

= 1 + (3 y^{2} - 1)^{3}

Développer

1 + (3 y^{2} - 1)^{3} : y^{2}

1 + (3 y^{2} - 1)^{3}

(3 y^{2} - 1)^{3} = y^{2} - 1

(3 y^{2} - 1)^{3}

Appliquer la règle des radicaux:

n a = a^{\frac{1}{n}}

= ((y^{2} - 1)^{\frac{1}{3}})^{3}

Appliquer la règle de l'exposant:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= (y^{2} - 1)^{\frac{1}{3} \cdot 3}

\frac{1}{3} \cdot 3 = 1

\frac{1}{3} \cdot 3

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 3}{3}

Annuler le facteur commun :

3

= 1

= y^{2} - 1

= 1 + y^{2} - 1

Grouper comme termes

= y^{2} + 1 - 1

1 - 1 = 0

= y^{2}

= y^{2}

y^{2} = y^{2}

y^{2} = y^{2}

Les deux côtés sont égaux

Vrai pour toute y

Vérifier les solutions:

y < 0

Faux

, y = 0

vrai

, y > 0

vrai

1 + (3 y^{2} - 1)^{3} = y

Combiner l'intervalle du domaine avec la solution de l'intervalle :

Vrai pour toute y

Trouver les intervalles de la fonction:

y < 0, y = 0, y > 0

1 + (3 y^{2} - 1)^{3} = y

Trouver les zéros des arguments des racines paires :

Résoudre

1 + 3 y^{2} - 1^{3} = 0 : y = 0

1 + (3 y^{2} - 1)^{3} = 0

Factoriser

1 + (3 y^{2} - 1)^{3} : (3 y^{2} - 1 + 1) ((y^{2} - 1)^{\frac{2}{3}} - 3 y^{2} - 1 + 1)

1 + (3 y^{2} - 1)^{3}

Récrire

1

comme

1^{3}

= (3 y^{2} - 1)^{3} + 1^{3}

Appliquer la somme de la formule des cubes :

x^{3} + y^{3} = (x + y) (x^{2} - x y + y^{2})

(3 y^{2} - 1)^{3} + 1^{3} = (3 y^{2} - 1 + 1) ((3 y^{2} - 1)^{2} - 3 y^{2} - 1 + 1)

= (3 y^{2} - 1 + 1) ((3 y^{2} - 1)^{2} - 3 y^{2} - 1 + 1)

(3 y^{2} - 1)^{2} = (y^{2} - 1)^{\frac{2}{3}}

(3 y^{2} - 1)^{2}

Appliquer la règle des radicaux:

n a = a^{\frac{1}{n}}

= ((y^{2} - 1)^{\frac{1}{3}})^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= (y^{2} - 1)^{\frac{1}{3} \cdot 2}

\frac{1}{3} \cdot 2 = \frac{2}{3}

\frac{1}{3} \cdot 2

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{3}

Multiplier les nombres :

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2}{3}

= (y^{2} - 1)^{\frac{2}{3}}

= (3 y^{2} - 1 + 1) ((y^{2} - 1)^{\frac{2}{3}} - 3 y^{2} - 1 + 1)

(3 y^{2} - 1 + 1) ((y^{2} - 1)^{\frac{2}{3}} - 3 y^{2} - 1 + 1) = 0

En utilisant le principe du facteur zéro : Si

ab = 0

alors

a = 0

b = 0

3 y^{2} - 1 + 1 = 0 or (y^{2} - 1)^{\frac{2}{3}} - 3 y^{2} - 1 + 1 = 0

Résoudre

3 y^{2} - 1 + 1 = 0 : y = 0

3 y^{2} - 1 + 1 = 0

Déplacer

1

vers la droite

3 y^{2} - 1 + 1 = 0

Soustraire

1

des deux côtés

3 y^{2} - 1 + 1 - 1 = 0 - 1

Simplifier

3 y^{2} - 1 = - 1

3 y^{2} - 1 = - 1

Mettre les deux côtés de l'équation à la puissance de

3 : y^{2} - 1 = - 1

3 y^{2} - 1 = - 1

(3 y^{2} - 1)^{3} = (- 1)^{3}

Développer

(3 y^{2} - 1)^{3} : y^{2} - 1

(3 y^{2} - 1)^{3}

Appliquer la règle des radicaux:

n a = a^{\frac{1}{n}}

= ((y^{2} - 1)^{\frac{1}{3}})^{3}

Appliquer la règle de l'exposant:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= (y^{2} - 1)^{\frac{1}{3} \cdot 3}

\frac{1}{3} \cdot 3 = 1

\frac{1}{3} \cdot 3

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 3}{3}

Annuler le facteur commun :

3

= 1

= y^{2} - 1

Développer

(- 1)^{3} : - 1

(- 1)^{3}

Appliquer la règle de l'exposant:

(- a)^{n} = - a^{n},

n

est impair

(- 1)^{3} = - 1^{3}

= - 1^{3}

Appliquer la règle

1^{a} = 1

= - 1

y^{2} - 1 = - 1

y^{2} - 1 = - 1

Résoudre

y^{2} - 1 = - 1 : y = 0

y^{2} - 1 = - 1

Déplacer

1

vers la droite

y^{2} - 1 = - 1

Ajouter

1

aux deux côtés

y^{2} - 1 + 1 = - 1 + 1

Simplifier

y^{2} = 0

y^{2} = 0

Appliquer la règle

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

y = 0

y = 0

Vérifier les solutions:

y = 0

vrai

Vérifier des solutions en les intégrant dans

3 y^{2} - 1 + 1 = 0

Retirer celles qui ne répondent pas à l'équation.

Insérer

y = 0 :

vrai

3 0^{2} - 1 + 1 = 0

3 0^{2} - 1 + 1 = 0

3 0^{2} - 1 + 1

Appliquer la règle

0^{a} = 0

0^{2} = 0

= 3 0 - 1 + 1

3 0 - 1 = - 1

3 0 - 1

Soustraire les nombres :

0 - 1 = - 1

= 3 - 1

n - 1 = - 1,

n

est impair

3 - 1 = - 1

= - 1

= - 1 + 1

Additionner/Soustraire les nombres :

- 1 + 1 = 0

= 0

0 = 0

vrai

La solution est

y = 0

Résoudre

(y^{2} - 1)^{\frac{2}{3}} - 3 y^{2} - 1 + 1 = 0 :

Aucune solution pour

y \in R

(y^{2} - 1)^{\frac{2}{3}} - 3 y^{2} - 1 + 1 = 0

Utiliser la propriété de l'exposant suivant

: a^{\frac{n}{m}} = (m a)^{n}

(y^{2} - 1)^{\frac{2}{3}} = (3 y^{2} - 1)^{2}

(3 y^{2} - 1)^{2} - 3 y^{2} - 1 + 1 = 0

Récrire l'équation avec

3 y^{2} - 1 = u

u^{2} - u + 1 = 0

Résoudre

u^{2} - u + 1 = 0 :

Aucune solution pour

u \in R

u^{2} - u + 1 = 0

Discriminant noté

u^{2} - u + 1 = 0 : - 3

u^{2} - u + 1 = 0

Pour une équation quadratique de forme

a x^{2} + b x + c = 0

le discriminant noté est

b^{2} - 4 a c

Pour

a = 1, b = - 1, c = 1 : (- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

(- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

Développer

(- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 : - 3

(- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(- a)^{n} = a^{n},

n

pair

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Appliquer la règle

1^{a} = 1

= 1

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

4 \cdot 1 \cdot 1

Multiplier les nombres :

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 4

= 1 - 4

Soustraire les nombres :

1 - 4 = - 3

= - 3

- 3

Le discriminant noté ne peut pas être négatif pour

u \in R

La solution est

Aucune solution pour u \in R

Aucune solution pour y \in R

y = 0

Vérifier les solutions:

y = 0

vrai

Vérifier des solutions en les intégrant dans

1 + 3 y^{2} - 1^{3} = 0

Retirer celles qui ne répondent pas à l'équation.

Insérer

y = 0 :

vrai

1 + (3 0^{2} - 1)^{3} = 0

1 + (3 0^{2} - 1)^{3} = 0

1 + (3 0^{2} - 1)^{3}

Appliquer la règle

0^{a} = 0

0^{2} = 0

= 1 + (3 0 - 1)^{3}

(3 0 - 1)^{3} = - 1

(3 0 - 1)^{3}

3 0 - 1 = - 1

3 0 - 1

Soustraire les nombres :

0 - 1 = - 1

= 3 - 1

n - 1 = - 1,

n

est impair

3 - 1 = - 1

= - 1

= (- 1)^{3}

Appliquer la règle de l'exposant:

(- a)^{n} = - a^{n},

n

est impair

(- 1)^{3} = - 1^{3}

= - 1^{3}

Appliquer la règle

1^{a} = 1

= - 1

= 1 - 1

Soustraire les nombres :

1 - 1 = 0

= 0

0 = 0

vrai

La solution est

y = 0

y = 0

Les intervalles sont définis autour des points zéro :

y < 0, y = 0, y > 0

Combiner des intervalles avec un domaine de définition

y < 0, y = 0, y > 0

Vérifier des solutions en les intégrant dans

1 + 3 y^{2} - 1^{3} = y

Retirer celles qui ne répondent pas à l'équation.

Intégrer

y < 0 : 1 + 3 y^{2} - 1^{3} \neq = y \Rightarrow

Faux

La solution est

y \geq 0

La solution est

sin (x y^{2}) = 3 y^{2} - 1 {y \geq 0}

Appliquer les propriétés trigonométriques inverses

sin (x y^{2}) = 3 y^{2} - 1

Solutions générales pour

sin (x y^{2}) = 3 y^{2} - 1

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

x y^{2} = arcsin (3 y^{2} - 1) + 2 πn, x y^{2} = π + arcsin (- 3 y^{2} - 1) + 2 πn

x y^{2} = arcsin (3 y^{2} - 1) + 2 πn, x y^{2} = π + arcsin (- 3 y^{2} - 1) + 2 πn

Résoudre

x y^{2} = arcsin (3 y^{2} - 1) + 2 πn : x = \frac{arcsin ( 3 y ^{2} - 1 )}{y ^{2}} + \frac{2 πn}{y ^{2}}; y \neq = 0

x y^{2} = arcsin (3 y^{2} - 1) + 2 πn

Diviser les deux côtés par

y^{2}; y \neq = 0

x y^{2} = arcsin (3 y^{2} - 1) + 2 πn

Diviser les deux côtés par

y^{2}; y \neq = 0

\frac{x y ^{2}}{y ^{2}} = \frac{arcsin ( 3 y ^{2} - 1 )}{y ^{2}} + \frac{2 πn}{y ^{2}}; y \neq = 0

Simplifier

x = \frac{arcsin ( 3 y ^{2} - 1 )}{y ^{2}} + \frac{2 πn}{y ^{2}}; y \neq = 0

x = \frac{arcsin ( 3 y ^{2} - 1 )}{y ^{2}} + \frac{2 πn}{y ^{2}}; y \neq = 0

Résoudre

x y^{2} = π + arcsin (- 3 y^{2} - 1) + 2 πn : x = \frac{π}{y ^{2}} + \frac{arcsin ( - 3 y ^{2} - 1 )}{y ^{2}} + \frac{2 πn}{y ^{2}}; y \neq = 0

x y^{2} = π + arcsin (- 3 y^{2} - 1) + 2 πn

Diviser les deux côtés par

y^{2}; y \neq = 0

x y^{2} = π + arcsin (- 3 y^{2} - 1) + 2 πn

Diviser les deux côtés par

y^{2}; y \neq = 0

\frac{x y ^{2}}{y ^{2}} = \frac{π}{y ^{2}} + \frac{arcsin ( - 3 y ^{2} - 1 )}{y ^{2}} + \frac{2 πn}{y ^{2}}; y \neq = 0

Simplifier

x = \frac{π}{y ^{2}} + \frac{arcsin ( - 3 y ^{2} - 1 )}{y ^{2}} + \frac{2 πn}{y ^{2}}; y \neq = 0

x = \frac{π}{y ^{2}} + \frac{arcsin ( - 3 y ^{2} - 1 )}{y ^{2}} + \frac{2 πn}{y ^{2}}; y \neq = 0

x = \frac{arcsin ( 3 y ^{2} - 1 )}{y ^{2}} + \frac{2 πn}{y ^{2}}, x = \frac{π}{y ^{2}} + \frac{arcsin ( - 3 y ^{2} - 1 )}{y ^{2}} + \frac{2 πn}{y ^{2}}

Graphe

Exemples populaires

sin((2x)/3)-1=0

sin (\frac{2 x}{3}) - 1 = 0

4sin^2(x)+1=4

4 sin^{2} (x) + 1 = 4

-sin^2(x)=-3+3sin^2(x)

- sin^{2} (x) = - 3 + 3 sin^{2} (x)

cos(3x)=0.5

cos (3 x) = 0.5

5cos^2(x)+cos(x)=0

5 cos^{2} (x) + cos (x) = 0