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Populaire Trigonométrie >

sqrt(4cos(θ))=1-cos(θ)

Solution

4 cos (θ) = 1 - cos (θ)

Solution

θ = 1.39837 \dots + 2 πn, θ = 2 π - 1.39837 \dots + 2 πn

Degrés

θ = 80.12071 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 279.87928 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

étapes des solutions

4 cos (θ) = 1 - cos (θ)

Résoudre par substitution

4 cos (θ) = 1 - cos (θ)

Soit :

cos (θ) = u

4 u = 1 - u

4 u = 1 - u : u = 3 - 22

4 u = 1 - u

Mettre les deux côtés au carré:

4 u = 1 - 2 u + u^{2}

4 u = 1 - u

(4 u)^{2} = (1 - u)^{2}

Développer

(4 u)^{2} : 4 u

(4 u)^{2}

Appliquer la règle des radicaux:

a = a^{\frac{1}{2}}

= ((4 u)^{\frac{1}{2}})^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= (4 u)^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Annuler le facteur commun :

2

= 1

= 4 u

Développer

(1 - u)^{2} : 1 - 2 u + u^{2}

(1 - u)^{2}

Appliquer la formule du carré parfait:

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

a = 1, b = u

= 1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot u + u^{2}

Simplifier

1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot u + u^{2} : 1 - 2 u + u^{2}

1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot u + u^{2}

Appliquer la règle

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 2 \cdot 1 \cdot u + u^{2}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 1 = 2

= 1 - 2 u + u^{2}

= 1 - 2 u + u^{2}

4 u = 1 - 2 u + u^{2}

4 u = 1 - 2 u + u^{2}

Résoudre

4 u = 1 - 2 u + u^{2} : u = 3 + 22, u = 3 - 22

4 u = 1 - 2 u + u^{2}

Transposer les termes des côtés

1 - 2 u + u^{2} = 4 u

Déplacer

4 u

vers la gauche

1 - 2 u + u^{2} = 4 u

Soustraire

4 u

des deux côtés

1 - 2 u + u^{2} - 4 u = 4 u - 4 u

Simplifier

u^{2} - 6 u + 1 = 0

u^{2} - 6 u + 1 = 0

Résoudre par la formule quadratique

u^{2} - 6 u + 1 = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = 1, b = - 6, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 6 ) \pm ( - 6 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 6 ) \pm ( - 6 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}

(- 6)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 42

(- 6)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

Appliquer la règle de l'exposant:

(- a)^{n} = a^{n},

n

pair

(- 6)^{2} = 6^{2}

= 6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

Multiplier les nombres :

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 6^{2} - 4

6^{2} = 36

= 36 - 4

Soustraire les nombres :

36 - 4 = 32

= 32

Factorisation première de

32 : 2^{5}

32

32

divisée par

232 = 16 \cdot 2

= 2 \cdot 16

16

divisée par

216 = 8 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 8

8

divisée par

28 = 4 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4

4

divisée par

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

2

est un nombre premier, par conséquent aucune autre factorisation n'est possible

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{5}

= 2^{5}

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{4} \cdot 2

Appliquer la règle des radicaux:

n ab = n a n b

= 2 2^{4}

Appliquer la règle des radicaux:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

2^{4} = 2^{\frac{4}{2}} = 2^{2}

= 2^{2} 2

Redéfinir

= 42

u_{1, 2} = \frac{- ( - 6 ) \pm 4 2}{2 \cdot 1}

Séparer les solutions

u_{1} = \frac{- ( - 6 ) + 4 2}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- ( - 6 ) - 4 2}{2 \cdot 1}

u = \frac{- ( - 6 ) + 4 2}{2 \cdot 1} : 3 + 22

\frac{- ( - 6 ) + 4 2}{2 \cdot 1}

Appliquer la règle

- (- a) = a

= \frac{6 + 4 2}{2 \cdot 1}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 1 = 2

= \frac{6 + 4 2}{2}

Factoriser

6 + 42 : 2 (3 + 22)

6 + 42

Récrire comme

= 2 \cdot 3 + 2 \cdot 22

Factoriser le terme commun

2

= 2 (3 + 22)

= \frac{2 ( 3 + 2 2 )}{2}

Diviser les nombres :

\frac{2}{2} = 1

= 3 + 22

u = \frac{- ( - 6 ) - 4 2}{2 \cdot 1} : 3 - 22

\frac{- ( - 6 ) - 4 2}{2 \cdot 1}

Appliquer la règle

- (- a) = a

= \frac{6 - 4 2}{2 \cdot 1}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 1 = 2

= \frac{6 - 4 2}{2}

Factoriser

6 - 42 : 2 (3 - 22)

6 - 42

Récrire comme

= 2 \cdot 3 - 2 \cdot 22

Factoriser le terme commun

2

= 2 (3 - 22)

= \frac{2 ( 3 - 2 2 )}{2}

Diviser les nombres :

\frac{2}{2} = 1

= 3 - 22

Les solutions de l'équation de forme quadratique sont :

u = 3 + 22, u = 3 - 22

u = 3 + 22, u = 3 - 22

Vérifier les solutions:

u = 3 + 22

Faux

, u = 3 - 22

vrai

Vérifier des solutions en les intégrant dans

4 u = 1 - u

Retirer celles qui ne répondent pas à l'équation.

Insérer

u = 3 + 22 :

Faux

4 (3 + 22) = 1 - (3 + 22)

1 - (3 + 22) = - 2 - 22

1 - (3 + 22)

- (3 + 22) : - 3 - 22

- (3 + 22)

Distribuer des parenthèses

= - (3) - (22)

Appliquer les règles des moins et des plus

+ (- a) = - a

= - 3 - 22

= 1 - 3 - 22

Soustraire les nombres :

1 - 3 = - 2

= - 2 - 22

4 (3 + 22) = - 2 - 22

Faux

Insérer

u = 3 - 22 :

vrai

4 (3 - 22) = 1 - (3 - 22)

1 - (3 - 22) = 22 - 2

1 - (3 - 22)

- (3 - 22) : - 3 + 22

- (3 - 22)

Distribuer des parenthèses

= - (3) - (- 22)

Appliquer les règles des moins et des plus

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 3 + 22

= 1 - 3 + 22

Soustraire les nombres :

1 - 3 = - 2

= 22 - 2

4 (3 - 22) = 22 - 2

vrai

La solution est

u = 3 - 22

Remplacer

u = cos (θ)

cos (θ) = 3 - 22

cos (θ) = 3 - 22

cos (θ) = 3 - 22 : θ = arccos (3 - 22) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (3 - 22) + 2 πn

cos (θ) = 3 - 22

Appliquer les propriétés trigonométriques inverses

cos (θ) = 3 - 22

Solutions générales pour

cos (θ) = 3 - 22

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

θ = arccos (3 - 22) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (3 - 22) + 2 πn

θ = arccos (3 - 22) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (3 - 22) + 2 πn

Combiner toutes les solutions

θ = arccos (3 - 22) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (3 - 22) + 2 πn

Montrer les solutions sous la forme décimale

θ = 1.39837 \dots + 2 πn, θ = 2 π - 1.39837 \dots + 2 πn

Graphe

Exemples populaires

sin(x/3)=0

sin (\frac{x}{3}) = 0

cos(x)=0.95

cos (x) = 0.95

2cos(2θ)+2cos(θ)+2=3cos(θ)

2 cos (2 θ) + 2 cos (θ) + 2 = 3 cos (θ)

1+csc(x)=cot^2(x)

1 + csc (x) = cot^{2} (x)

cos(1/(4θ))=(-sqrt(2))/2

cos (\frac{1}{4 θ}) = \frac{- 2}{2}