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Populaire Trigonométrie >

-tan(x)+sec(x)=1,0<= x<= 2pi

Solution

- tan (x) + sec (x) = 1, 0 \leq x \leq 2 π

Solution

x = 0, x = 2 π

Degrés

x = 0^{\circ}, x = 36 0^{\circ}

étapes des solutions

- tan (x) + sec (x) = 1, 0 \leq x \leq 2 π

Soustraire

1

des deux côtés

- tan (x) + sec (x) - 1 = 0

Exprimer avec sinus, cosinus

- \frac{sin ( x )}{cos ( x )} + \frac{1}{cos ( x )} - 1 = 0

Simplifier

- \frac{sin ( x )}{cos ( x )} + \frac{1}{cos ( x )} - 1 : \frac{- sin ( x ) + 1 - cos ( x )}{cos ( x )}

- \frac{sin ( x )}{cos ( x )} + \frac{1}{cos ( x )} - 1

Combiner les fractions

- \frac{sin ( x )}{cos ( x )} + \frac{1}{cos ( x )} : \frac{- sin ( x ) + 1}{cos ( x )}

Appliquer la règle

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- sin ( x ) + 1}{cos ( x )}

= \frac{- sin ( x ) + 1}{cos ( x )} - 1

Convertir un élément en fraction:

1 = \frac{1 cos ( x )}{cos ( x )}

= \frac{- sin ( x ) + 1}{cos ( x )} - \frac{1 \cdot cos ( x )}{cos ( x )}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- sin ( x ) + 1 - 1 \cdot cos ( x )}{cos ( x )}

Multiplier:

1 \cdot cos (x) = cos (x)

= \frac{- sin ( x ) + 1 - cos ( x )}{cos ( x )}

\frac{- sin ( x ) + 1 - cos ( x )}{cos ( x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

- sin (x) + 1 - cos (x) = 0

Ajouter

cos (x)

aux deux côtés

- sin (x) + 1 = cos (x)

Mettre les deux côtés au carré

(- sin (x) + 1)^{2} = cos^{2} (x)

Soustraire

cos^{2} (x)

des deux côtés

(- sin (x) + 1)^{2} - cos^{2} (x) = 0

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

(1 - sin (x))^{2} - cos^{2} (x)

Utiliser l'identité hyperbolique:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= (1 - sin (x))^{2} - (1 - sin^{2} (x))

Simplifier

(1 - sin (x))^{2} - (1 - sin^{2} (x)) : 2 sin^{2} (x) - 2 sin (x)

(1 - sin (x))^{2} - (1 - sin^{2} (x))

(1 - sin (x))^{2} : 1 - 2 sin (x) + sin^{2} (x)

Appliquer la formule du carré parfait:

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

a = 1, b = sin (x)

= 1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot sin (x) + sin^{2} (x)

Simplifier

1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot sin (x) + sin^{2} (x) : 1 - 2 sin (x) + sin^{2} (x)

1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot sin (x) + sin^{2} (x)

Appliquer la règle

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 2 \cdot 1 \cdot sin (x) + sin^{2} (x)

Multiplier les nombres :

2 \cdot 1 = 2

= 1 - 2 sin (x) + sin^{2} (x)

= 1 - 2 sin (x) + sin^{2} (x)

= 1 - 2 sin (x) + sin^{2} (x) - (1 - sin^{2} (x))

- (1 - sin^{2} (x)) : - 1 + sin^{2} (x)

- (1 - sin^{2} (x))

Distribuer des parenthèses

= - (1) - (- sin^{2} (x))

Appliquer les règles des moins et des plus

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + sin^{2} (x)

= 1 - 2 sin (x) + sin^{2} (x) - 1 + sin^{2} (x)

Simplifier

1 - 2 sin (x) + sin^{2} (x) - 1 + sin^{2} (x) : 2 sin^{2} (x) - 2 sin (x)

1 - 2 sin (x) + sin^{2} (x) - 1 + sin^{2} (x)

Grouper comme termes

= - 2 sin (x) + sin^{2} (x) + sin^{2} (x) + 1 - 1

Additionner les éléments similaires :

sin^{2} (x) + sin^{2} (x) = 2 sin^{2} (x)

= - 2 sin (x) + 2 sin^{2} (x) + 1 - 1

1 - 1 = 0

= 2 sin^{2} (x) - 2 sin (x)

= 2 sin^{2} (x) - 2 sin (x)

= 2 sin^{2} (x) - 2 sin (x)

- 2 sin (x) + 2 sin^{2} (x) = 0

Résoudre par substitution

- 2 sin (x) + 2 sin^{2} (x) = 0

Soit :

sin (x) = u

- 2 u + 2 u^{2} = 0

- 2 u + 2 u^{2} = 0 : u = 1, u = 0

- 2 u + 2 u^{2} = 0

Ecrire sous la forme standard

a x^{2} + b x + c = 0

2 u^{2} - 2 u = 0

Résoudre par la formule quadratique

2 u^{2} - 2 u = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = 2, b = - 2, c = 0

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 0}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 0}{2 \cdot 2}

(- 2)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 0 = 2

(- 2)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 0

Appliquer la règle de l'exposant:

(- a)^{n} = a^{n},

n

pair

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 0

Appliquer la règle

0 \cdot a = 0

= 2^{2} - 0

2^{2} - 0 = 2^{2}

= 2^{2}

Appliquer la règle des radicaux :

n a^{n} = a,

en supposant

a \geq 0

= 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 2}{2 \cdot 2}

Séparer les solutions

u_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 2}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 2}{2 \cdot 2}

u = \frac{- ( - 2 ) + 2}{2 \cdot 2} : 1

\frac{- ( - 2 ) + 2}{2 \cdot 2}

Appliquer la règle

- (- a) = a

= \frac{2 + 2}{2 \cdot 2}

Additionner les nombres :

2 + 2 = 4

= \frac{4}{2 \cdot 2}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 2 = 4

= \frac{4}{4}

Appliquer la règle

\frac{a}{a} = 1

= 1

u = \frac{- ( - 2 ) - 2}{2 \cdot 2} : 0

\frac{- ( - 2 ) - 2}{2 \cdot 2}

Appliquer la règle

- (- a) = a

= \frac{2 - 2}{2 \cdot 2}

Soustraire les nombres :

2 - 2 = 0

= \frac{0}{2 \cdot 2}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 2 = 4

= \frac{0}{4}

Appliquer la règle

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= 0

Les solutions de l'équation de forme quadratique sont :

u = 1, u = 0

Remplacer

u = sin (x)

sin (x) = 1, sin (x) = 0

sin (x) = 1, sin (x) = 0

sin (x) = 1, 0 \leq x \leq 2 π : x = \frac{π}{2}

sin (x) = 1, 0 \leq x \leq 2 π

Solutions générales pour

sin (x) = 1

Tableau de périodicité

sin (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn

Solutions pour la plage

0 \leq x \leq 2 π

x = \frac{π}{2}

sin (x) = 0, 0 \leq x \leq 2 π : x = 0, x = π, x = 2 π

sin (x) = 0, 0 \leq x \leq 2 π

Solutions générales pour

sin (x) = 0

Tableau de périodicité

sin (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

Résoudre

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn, x = π + 2 πn

Solutions pour la plage

0 \leq x \leq 2 π

x = 0, x = π, x = 2 π

Combiner toutes les solutions

x = \frac{π}{2}, x = 0, x = π, x = 2 π

Vérifier les solutions en les intégrant dans l'équation d'origine

Vérifier des solutions en les intégrant dans

- tan (x) + sec (x) = 1

Retirer celles qui ne répondent pas à l'équation.

Vérifier la solution

\frac{π}{2} :

Faux

\frac{π}{2}

Insérer

n = 1

\frac{π}{2}

Pour

- tan (x) + sec (x) = 1

insérer

x = \frac{π}{2}

- tan (\frac{π}{2}) + sec (\frac{π}{2}) = 1

Ind \overset{e}{ˊ} fini

\Rightarrow Faux

Vérifier la solution

0 :

vrai

0

Insérer

n = 1

0

Pour

- tan (x) + sec (x) = 1

insérer

x = 0

- tan (0) + sec (0) = 1

Redéfinir

1 = 1

\Rightarrow vrai

Vérifier la solution

π :

Faux

π

Insérer

n = 1

π

Pour

- tan (x) + sec (x) = 1

insérer

x = π

- tan (π) + sec (π) = 1

Redéfinir

- 1 = 1

\Rightarrow Faux

Vérifier la solution

2 π :

vrai

2 π

Insérer

n = 1

2 π

Pour

- tan (x) + sec (x) = 1

insérer

x = 2 π

- tan (2 π) + sec (2 π) = 1

Redéfinir

1 = 1

\Rightarrow vrai

x = 0, x = 2 π

Graphe

Exemples populaires

3tan(x/9)-sqrt(3)=0

3 tan (\frac{x}{9}) - 3 = 0

solvefor x,tan(x)= 1/(sqrt(3))

so l v e f or x, tan (x) = \frac{1}{3}

cos(x)= 9/12

cos (x) = \frac{9}{12}

2tan^2(x)+1=sec^2(x)+sin^2(x)+cos^2(x)

2 tan^{2} (x) + 1 = sec^{2} (x) + sin^{2} (x) + cos^{2} (x)

cos(x)=-1/6

cos (x) = - \frac{1}{6}