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Beliebt Trigonometrie >

cosh(y)=2

Lösung

cosh (y) = 2

Lösung

y = ln (2 + 3), y = ln (2 - 3)

Grad

y = 75.45612 \dots^{\circ}, y = - 75.45612 \dots^{\circ}

Schritte zur Lösung

cosh (y) = 2

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cosh (y) = 2

Hyperbolische Identität anwenden:

cosh (x) = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}

\frac{e ^{y} + e ^{- y}}{2} = 2

\frac{e ^{y} + e ^{- y}}{2} = 2

\frac{e ^{y} + e ^{- y}}{2} = 2 : y = ln (2 + 3), y = ln (2 - 3)

\frac{e ^{y} + e ^{- y}}{2} = 2

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{e ^{y} + e ^{- y}}{2} \cdot 2 = 2 \cdot 2

Vereinfache

e^{y} + e^{- y} = 4

Wende Exponentenregel an

e^{y} + e^{- y} = 4

Wende Exponentenregel an:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

e^{- y} = (e^{y})^{- 1}

e^{y} + (e^{y})^{- 1} = 4

e^{y} + (e^{y})^{- 1} = 4

Schreibe die Gleichung um mit

e^{y} = u

u + (u)^{- 1} = 4

Löse

u + u^{- 1} = 4 : u = 2 + 3, u = 2 - 3

u + u^{- 1} = 4

Fasse zusammen

u + \frac{1}{u} = 4

Multipliziere beide Seiten mit

u

u + \frac{1}{u} = 4

Multipliziere beide Seiten mit

u

uu + \frac{1}{u} u = 4 u

Vereinfache

uu + \frac{1}{u} u = 4 u

Vereinfache

uu : u^{2}

uu

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= u^{1 + 1}

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= u^{2}

Vereinfache

\frac{1}{u} u : 1

\frac{1}{u} u

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot u}{u}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

u

= 1

u^{2} + 1 = 4 u

u^{2} + 1 = 4 u

u^{2} + 1 = 4 u

Löse

u^{2} + 1 = 4 u : u = 2 + 3, u = 2 - 3

u^{2} + 1 = 4 u

Verschiebe

4 u

auf die linke Seite

u^{2} + 1 = 4 u

Subtrahiere

4 u

von beiden Seiten

u^{2} + 1 - 4 u = 4 u - 4 u

Vereinfache

u^{2} + 1 - 4 u = 0

u^{2} + 1 - 4 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

u^{2} - 4 u + 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

u^{2} - 4 u + 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 1, b = - 4, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}

(- 4)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 23

(- 4)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 4)^{2} = 4^{2}

= 4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 4^{2} - 4

4^{2} = 16

= 16 - 4

Subtrahiere die Zahlen:

16 - 4 = 12

= 12

Primfaktorzerlegung von

12 : 2^{2} \cdot 3

12

12

ist durch

212 = 6 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 6

6

ist durch

26 = 3 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 3

2, 3

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 3

= 2^{2} \cdot 3

= 2^{2} \cdot 3

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 3 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 23

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm 2 3}{2 \cdot 1}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 4 ) + 2 3}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- ( - 4 ) - 2 3}{2 \cdot 1}

u = \frac{- ( - 4 ) + 2 3}{2 \cdot 1} : 2 + 3

\frac{- ( - 4 ) + 2 3}{2 \cdot 1}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{4 + 2 3}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{4 + 2 3}{2}

Faktorisiere

4 + 23 : 2 (2 + 3)

4 + 23

Schreibe um

= 2 \cdot 2 + 23

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (2 + 3)

= \frac{2 ( 2 + 3 )}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= 2 + 3

u = \frac{- ( - 4 ) - 2 3}{2 \cdot 1} : 2 - 3

\frac{- ( - 4 ) - 2 3}{2 \cdot 1}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{4 - 2 3}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{4 - 2 3}{2}

Faktorisiere

4 - 23 : 2 (2 - 3)

4 - 23

Schreibe um

= 2 \cdot 2 - 23

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (2 - 3)

= \frac{2 ( 2 - 3 )}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= 2 - 3

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 2 + 3, u = 2 - 3

u = 2 + 3, u = 2 - 3

Überprüfe die Lösungen

Bestimme unbestimmte (Singularitäts-)Punkte:

u = 0

Nimm den/die Nenner von

u + u^{- 1}

und vergleiche mit Null

u = 0

Die folgenden Punkte sind unbestimmt

u = 0

Kombine die undefinierten Punkte mit den Lösungen:

u = 2 + 3, u = 2 - 3

u = 2 + 3, u = 2 - 3

Setze

u = e^{y} w i e d er e in,

löse für

y

Löse

e^{y} = 2 + 3 : y = ln (2 + 3)

e^{y} = 2 + 3

Wende Exponentenregel an

e^{y} = 2 + 3

Wenn

f (x) = g (x)

, dann

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{y}) = ln (2 + 3)

Wende die log Regel an:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{y}) = y

y = ln (2 + 3)

y = ln (2 + 3)

Löse

e^{y} = 2 - 3 : y = ln (2 - 3)

e^{y} = 2 - 3

Wende Exponentenregel an

e^{y} = 2 - 3

Wenn

f (x) = g (x)

, dann

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{y}) = ln (2 - 3)

Wende die log Regel an:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{y}) = y

y = ln (2 - 3)

y = ln (2 - 3)

y = ln (2 + 3), y = ln (2 - 3)

y = ln (2 + 3), y = ln (2 - 3)

Graph

Beliebte Beispiele

(sin(12))/(sin(x))= 343/1484

\frac{sin ( 1 2 ^{\circ} )}{sin ( x )} = \frac{343}{1484}

2sin(x)-3cos(x)=3

2 sin (x) - 3 cos (x) = 3

sin(x)=-0.42

sin (x) = - 0.42

sin(x)=-0.75

sin (x) = - 0.75

sin(x)=-0.95

sin (x) = - 0.95