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Beliebt Trigonometrie >

cos(2x)=2sin(x)

Lösung

cos (2 x) = 2 sin (x)

Lösung

x = 0.37473 \dots + 2 πn, x = π - 0.37473 \dots + 2 πn

Grad

x = 21.47070 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 158.52929 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

cos (2 x) = 2 sin (x)

Subtrahiere

2 sin (x)

von beiden Seiten

cos (2 x) - 2 sin (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cos (2 x) - 2 sin (x)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= 1 - 2 sin^{2} (x) - 2 sin (x)

1 - 2 sin (x) - 2 sin^{2} (x) = 0

Löse mit Substitution

1 - 2 sin (x) - 2 sin^{2} (x) = 0

Angenommen:

sin (x) = u

1 - 2 u - 2 u^{2} = 0

1 - 2 u - 2 u^{2} = 0 : u = - \frac{1 + 3}{2}, u = \frac{3 - 1}{2}

1 - 2 u - 2 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 2 u^{2} - 2 u + 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 2 u^{2} - 2 u + 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 2, b = - 2, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 1}{2 ( - 2 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 1}{2 ( - 2 )}

(- 2)^{2} - 4 (- 2) \cdot 1 = 23

(- 2)^{2} - 4 (- 2) \cdot 1

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 2)^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 1

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 2 \cdot 1 = 8

= 2^{2} + 8

2^{2} = 4

= 4 + 8

Addiere die Zahlen:

4 + 8 = 12

= 12

Primfaktorzerlegung von

12 : 2^{2} \cdot 3

12

12

ist durch

212 = 6 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 6

6

ist durch

26 = 3 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 3

2, 3

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 3

= 2^{2} \cdot 3

= 2^{2} \cdot 3

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 3 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 23

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 2 3}{2 ( - 2 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 2 3}{2 ( - 2 )}, u_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 2 3}{2 ( - 2 )}

u = \frac{- ( - 2 ) + 2 3}{2 ( - 2 )} : - \frac{1 + 3}{2}

\frac{- ( - 2 ) + 2 3}{2 ( - 2 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 + 2 3}{- 2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{2 + 2 3}{- 4}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2 + 2 3}{4}

Streiche

\frac{2 + 2 3}{4} : \frac{1 + 3}{2}

\frac{2 + 2 3}{4}

Faktorisiere

2 + 23 : 2 (1 + 3)

2 + 23

Schreibe um

= 2 \cdot 1 + 23

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (1 + 3)

= \frac{2 ( 1 + 3 )}{4}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{1 + 3}{2}

= - \frac{1 + 3}{2}

u = \frac{- ( - 2 ) - 2 3}{2 ( - 2 )} : \frac{3 - 1}{2}

\frac{- ( - 2 ) - 2 3}{2 ( - 2 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 - 2 3}{- 2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{2 - 2 3}{- 4}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

2 - 23 = - (23 - 2)

= \frac{2 3 - 2}{4}

Faktorisiere

23 - 2 : 2 (3 - 1)

23 - 2

Schreibe um

= 23 - 2 \cdot 1

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (3 - 1)

= \frac{2 ( 3 - 1 )}{4}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{3 - 1}{2}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{1 + 3}{2}, u = \frac{3 - 1}{2}

Setze in

u = sin (x)

ein

sin (x) = - \frac{1 + 3}{2}, sin (x) = \frac{3 - 1}{2}

sin (x) = - \frac{1 + 3}{2}, sin (x) = \frac{3 - 1}{2}

sin (x) = - \frac{1 + 3}{2} :

Keine Lösung

sin (x) = - \frac{1 + 3}{2}

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

sin (x) = \frac{3 - 1}{2} : x = arcsin (\frac{3 - 1}{2}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{3 - 1}{2}) + 2 πn

sin (x) = \frac{3 - 1}{2}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (x) = \frac{3 - 1}{2}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = \frac{3 - 1}{2}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (\frac{3 - 1}{2}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{3 - 1}{2}) + 2 πn

x = arcsin (\frac{3 - 1}{2}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{3 - 1}{2}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arcsin (\frac{3 - 1}{2}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{3 - 1}{2}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 0.37473 \dots + 2 πn, x = π - 0.37473 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

sin(θ)tan(θ)-sqrt(3)sin(θ)=0

sin (θ) tan (θ) - 3 sin (θ) = 0

5sqrt(3)tan(x)-5=0

53 tan (x) - 5 = 0

2cos(2θ)+4cos(θ)+2=-1

2 cos (2 θ) + 4 cos (θ) + 2 = - 1

2cos(2x+(3pi)/2)=sqrt(3)

2 cos (2 x + \frac{3 π}{2}) = 3

3sin(x)+2cos(x)=0

3 sin (x) + 2 cos (x) = 0