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Beliebt Trigonometrie >

9cos(2θ)=27cos(θ)-18

Lösung

9 cos (2 θ) = 27 cos (θ) - 18

Lösung

θ = 2 πn, θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Grad

θ = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 30 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

9 cos (2 θ) = 27 cos (θ) - 18

Subtrahiere

27 cos (θ) - 18

von beiden Seiten

9 cos (2 θ) - 27 cos (θ) + 18 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

18 - 27 cos (θ) + 9 cos (2 θ)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= 18 - 27 cos (θ) + 9 (2 cos^{2} (θ) - 1)

Vereinfache

18 - 27 cos (θ) + 9 (2 cos^{2} (θ) - 1) : 18 cos^{2} (θ) - 27 cos (θ) + 9

18 - 27 cos (θ) + 9 (2 cos^{2} (θ) - 1)

Multipliziere aus

9 (2 cos^{2} (θ) - 1) : 18 cos^{2} (θ) - 9

9 (2 cos^{2} (θ) - 1)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 9, b = 2 cos^{2} (θ), c = 1

= 9 \cdot 2 cos^{2} (θ) - 9 \cdot 1

Vereinfache

9 \cdot 2 cos^{2} (θ) - 9 \cdot 1 : 18 cos^{2} (θ) - 9

9 \cdot 2 cos^{2} (θ) - 9 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

9 \cdot 2 = 18

= 18 cos^{2} (θ) - 9 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

9 \cdot 1 = 9

= 18 cos^{2} (θ) - 9

= 18 cos^{2} (θ) - 9

= 18 - 27 cos (θ) + 18 cos^{2} (θ) - 9

Vereinfache

18 - 27 cos (θ) + 18 cos^{2} (θ) - 9 : 18 cos^{2} (θ) - 27 cos (θ) + 9

18 - 27 cos (θ) + 18 cos^{2} (θ) - 9

Fasse gleiche Terme zusammen

= - 27 cos (θ) + 18 cos^{2} (θ) + 18 - 9

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

18 - 9 = 9

= 18 cos^{2} (θ) - 27 cos (θ) + 9

= 18 cos^{2} (θ) - 27 cos (θ) + 9

= 18 cos^{2} (θ) - 27 cos (θ) + 9

9 + 18 cos^{2} (θ) - 27 cos (θ) = 0

Löse mit Substitution

9 + 18 cos^{2} (θ) - 27 cos (θ) = 0

Angenommen:

cos (θ) = u

9 + 18 u^{2} - 27 u = 0

9 + 18 u^{2} - 27 u = 0 : u = 1, u = \frac{1}{2}

9 + 18 u^{2} - 27 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

18 u^{2} - 27 u + 9 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

18 u^{2} - 27 u + 9 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 18, b = - 27, c = 9

u_{1, 2} = \frac{- ( - 27 ) \pm ( - 27 ) ^{2} - 4 \cdot 18 \cdot 9}{2 \cdot 18}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 27 ) \pm ( - 27 ) ^{2} - 4 \cdot 18 \cdot 9}{2 \cdot 18}

(- 27)^{2} - 4 \cdot 18 \cdot 9 = 9

(- 27)^{2} - 4 \cdot 18 \cdot 9

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 27)^{2} = 2 7^{2}

= 2 7^{2} - 4 \cdot 18 \cdot 9

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 18 \cdot 9 = 648

= 2 7^{2} - 648

2 7^{2} = 729

= 729 - 648

Subtrahiere die Zahlen:

729 - 648 = 81

= 81

Faktorisiere die Zahl:

81 = 9^{2}

= 9^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

9^{2} = 9

= 9

u_{1, 2} = \frac{- ( - 27 ) \pm 9}{2 \cdot 18}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 27 ) + 9}{2 \cdot 18}, u_{2} = \frac{- ( - 27 ) - 9}{2 \cdot 18}

u = \frac{- ( - 27 ) + 9}{2 \cdot 18} : 1

\frac{- ( - 27 ) + 9}{2 \cdot 18}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{27 + 9}{2 \cdot 18}

Addiere die Zahlen:

27 + 9 = 36

= \frac{36}{2 \cdot 18}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 18 = 36

= \frac{36}{36}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= 1

u = \frac{- ( - 27 ) - 9}{2 \cdot 18} : \frac{1}{2}

\frac{- ( - 27 ) - 9}{2 \cdot 18}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{27 - 9}{2 \cdot 18}

Subtrahiere die Zahlen:

27 - 9 = 18

= \frac{18}{2 \cdot 18}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 18 = 36

= \frac{18}{36}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

18

= \frac{1}{2}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 1, u = \frac{1}{2}

Setze in

u = cos (θ)

ein

cos (θ) = 1, cos (θ) = \frac{1}{2}

cos (θ) = 1, cos (θ) = \frac{1}{2}

cos (θ) = 1 : θ = 2 πn

cos (θ) = 1

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = 1

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = 0 + 2 πn

θ = 0 + 2 πn

Löse

θ = 0 + 2 πn : θ = 2 πn

θ = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

θ = 2 πn

θ = 2 πn

cos (θ) = \frac{1}{2} : θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (θ) = \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = \frac{1}{2}

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = 2 πn, θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

4csc(x)=sqrt(3)csc(x)cot(x)+3csc(x)

4 csc (x) = 3 csc (x) cot (x) + 3 csc (x)

4cos^2(x)+4cos(x)=1,0<= x<360

4 cos^{2} (x) + 4 cos (x) = 1, 0^{\circ} \leq x < 36 0^{\circ}

8cos^2(x)=4

8 cos^{2} (x) = 4

4cos(3x)=0

4 cos (3 x) = 0

sin^2(x)=sin^2(x/2)

sin^{2} (x) = sin^{2} (\frac{x}{2})