解答
cosh(4x)=16sinh(x)+1
解答
x=0,x=ln(2.41421…)
+1
度数
x=0∘,x=50.49898…∘求解步骤
cosh(4x)=16sinh(x)+1
使用三角恒等式改写
cosh(4x)=16sinh(x)+1
使用双曲函数恒等式: sinh(x)=2ex−e−xcosh(4x)=16⋅2ex−e−x+1
使用双曲函数恒等式: cosh(x)=2ex+e−x2e4x+e−4x=16⋅2ex−e−x+1
2e4x+e−4x=16⋅2ex−e−x+1
2e4x+e−4x=16⋅2ex−e−x+1:x=0,x=ln(2.41421…)
2e4x+e−4x=16⋅2ex−e−x+1
在两边乘以 22e4x+e−4x⋅2=16⋅2ex−e−x⋅2+1⋅2
化简e4x+e−4x=16(ex−e−x)+2
使用指数运算法则
e4x+e−4x=16(ex−e−x)+2
使用指数法则: abc=(ab)ce4x=(ex)4,e−4x=(ex)−4,e−x=(ex)−1(ex)4+(ex)−4=16(ex−(ex)−1)+2
(ex)4+(ex)−4=16(ex−(ex)−1)+2
用ex=u 改写方程式(u)4+(u)−4=16(u−(u)−1)+2
解 u4+u−4=16(u−u−1)+2:u=−1,u=1,u≈−0.41421…,u≈2.41421…
u4+u−4=16(u−u−1)+2
整理后得u4+u41=16(u−u1)+2
在两边乘以 u4
u4+u41=16(u−u1)+2
在两边乘以 u4u4u4+u41u4=16(u−u1)u4+2u4
化简
u4u4+u41u4=16(u−u1)u4+2u4
化简 u4u4:u8
u4u4
使用指数法则: ab⋅ac=ab+cu4u4=u4+4=u4+4
数字相加:4+4=8=u8
化简 u41u4:1
u41u4
分式相乘: a⋅cb=ca⋅b=u41⋅u4
约分:u4=1
u8+1=16(u−u1)u4+2u4
u8+1=16(u−u1)u4+2u4
u8+1=16(u−u1)u4+2u4
展开 16(u−u1)u4+2u4:16u5−16u3+2u4
16(u−u1)u4+2u4
=16u4(u−u1)+2u4
乘开 16u4(u−u1):16u5−16u3
16u4(u−u1)
使用分配律: a(b−c)=ab−aca=16u4,b=u,c=u1=16u4u−16u4u1
=16u4u−16⋅u1u4
化简 16u4u−16⋅u1u4:16u5−16u3
16u4u−16⋅u1u4
16u4u=16u5
16u4u
使用指数法则: ab⋅ac=ab+cu4u=u4+1=16u4+1
数字相加:4+1=5=16u5
16⋅u1u4=16u3
16⋅u1u4
分式相乘: a⋅cb=ca⋅b=u1⋅16u4
数字相乘:1⋅16=16=u16u4
约分:u=16u3
=16u5−16u3
=16u5−16u3
=16u5−16u3+2u4
u8+1=16u5−16u3+2u4
解 u8+1=16u5−16u3+2u4:u=−1,u=1,u≈−0.41421…,u≈2.41421…
u8+1=16u5−16u3+2u4
将 2u4para o lado esquerdo
u8+1=16u5−16u3+2u4
两边减去 2u4u8+1−2u4=16u5−16u3+2u4−2u4
化简u8+1−2u4=16u5−16u3
u8+1−2u4=16u5−16u3
将 16u3para o lado esquerdo
u8+1−2u4=16u5−16u3
两边加上 16u3u8+1−2u4+16u3=16u5−16u3+16u3
化简u8+1−2u4+16u3=16u5
u8+1−2u4+16u3=16u5
将 16u5para o lado esquerdo
u8+1−2u4+16u3=16u5
两边减去 16u5u8+1−2u4+16u3−16u5=16u5−16u5
化简u8+1−2u4+16u3−16u5=0
u8+1−2u4+16u3−16u5=0
改写成标准形式 anxn+…+a1x+a0=0u8−16u5−2u4+16u3+1=0
因式分解 u8−16u5−2u4+16u3+1:(u+1)(u−1)(u6+u4−16u3−u2−1)
u8−16u5−2u4+16u3+1
使用有理根定理
a0=1,an=1
a0的除数:1,an的除数:1
因此，检验以下有理数:±11
−11 是表达式的根，所以因式分解 u+1
=(u+1)u+1u8−16u5−2u4+16u3+1u+1u8−16u5−2u4+16u3+1=u7−u6+u5−17u4+15u3+u2−u+1
u+1u8−16u5−2u4+16u3+1
对 u+1u8−16u5−2u4+16u3+1做除法:u+1u8−16u5−2u4+16u3+1=u7+u+1−u7−16u5−2u4+16u3+1
将分子 u8−16u5−2u4+16u3+1 与除数 u+1
的首项系数相除：uu8=u7
商=u7将 u+1 乘以 u7:u8+u7将 u8−16u5−2u4+16u3+1 减去 u8+u7 得到新的余数余数=−u7−16u5−2u4+16u3+1
因此u+1u8−16u5−2u4+16u3+1=u7+u+1−u7−16u5−2u4+16u3+1
=u7+u+1−u7−16u5−2u4+16u3+1
对 u+1−u7−16u5−2u4+16u3+1做除法:u+1−u7−16u5−2u4+16u3+1=−u6+u+1u6−16u5−2u4+16u3+1
将分子 −u7−16u5−2u4+16u3+1 与除数 u+1
的首项系数相除：u−u7=−u6
商=−u6将 u+1 乘以 −u6:−u7−u6将 −u7−16u5−2u4+16u3+1 减去 −u7−u6 得到新的余数余数=u6−16u5−2u4+16u3+1
因此u+1−u7−16u5−2u4+16u3+1=−u6+u+1u6−16u5−2u4+16u3+1
=u7−u6+u+1u6−16u5−2u4+16u3+1
对 u+1u6−16u5−2u4+16u3+1做除法:u+1u6−16u5−2u4+16u3+1=u5+u+1−17u5−2u4+16u3+1
将分子 u6−16u5−2u4+16u3+1 与除数 u+1
的首项系数相除：uu6=u5
商=u5将 u+1 乘以 u5:u6+u5将 u6−16u5−2u4+16u3+1 减去 u6+u5 得到新的余数余数=−17u5−2u4+16u3+1
因此u+1u6−16u5−2u4+16u3+1=u5+u+1−17u5−2u4+16u3+1
=u7−u6+u5+u+1−17u5−2u4+16u3+1
对 u+1−17u5−2u4+16u3+1做除法:u+1−17u5−2u4+16u3+1=−17u4+u+115u4+16u3+1
将分子 −17u5−2u4+16u3+1 与除数 u+1
的首项系数相除：u−17u5=−17u4
商=−17u4将 u+1 乘以 −17u4:−17u5−17u4将 −17u5−2u4+16u3+1 减去 −17u5−17u4 得到新的余数余数=15u4+16u3+1
因此u+1−17u5−2u4+16u3+1=−17u4+u+115u4+16u3+1
=u7−u6+u5−17u4+u+115u4+16u3+1
对 u+115u4+16u3+1做除法:u+115u4+16u3+1=15u3+u+1u3+1
将分子 15u4+16u3+1 与除数 u+1
的首项系数相除：u15u4=15u3
商=15u3将 u+1 乘以 15u3:15u4+15u3将 15u4+16u3+1 减去 15u4+15u3 得到新的余数余数=u3+1
因此u+115u4+16u3+1=15u3+u+1u3+1
=u7−u6+u5−17u4+15u3+u+1u3+1
对 u+1u3+1做除法:u+1u3+1=u2+u+1−u2+1
将分子 u3+1 与除数 u+1
的首项系数相除：uu3=u2
商=u2将 u+1 乘以 u2:u3+u2将 u3+1 减去 u3+u2 得到新的余数余数=−u2+1
因此u+1u3+1=u2+u+1−u2+1
=u7−u6+u5−17u4+15u3+u2+u+1−u2+1
对 u+1−u2+1做除法:u+1−u2+1=−u+u+1u+1
将分子 −u2+1 与除数 u+1
的首项系数相除：u−u2=−u
商=−u将 u+1 乘以 −u:−u2−u将 −u2+1 减去 −u2−u 得到新的余数余数=u+1
因此u+1−u2+1=−u+u+1u+1
=u7−u6+u5−17u4+15u3+u2−u+u+1u+1
对 u+1u+1做除法:u+1u+1=1
将分子 u+1 与除数 u+1
的首项系数相除：uu=1
商=1将 u+1 乘以 1:u+1将 u+1 减去 u+1 得到新的余数余数=0
因此u+1u+1=1
=u7−u6+u5−17u4+15u3+u2−u+1
=u7−u6+u5−17u4+15u3+u2−u+1
分解 u7−u6+u5−17u4+15u3+u2−u+1:(u−1)(u6+u4−16u3−u2−1)
u7−u6+u5−17u4+15u3+u2−u+1
使用有理根定理
a0=1,an=1
a0的除数:1,an的除数:1
因此，检验以下有理数:±11
11 是表达式的根，所以因式分解 u−1
=(u−1)u−1u7−u6+u5−17u4+15u3+u2−u+1u−1u7−u6+u5−17u4+15u3+u2−u+1=u6+u4−16u3−u2−1
u−1u7−u6+u5−17u4+15u3+u2−u+1
对 u−1u7−u6+u5−17u4+15u3+u2−u+1做除法:u−1u7−u6+u5−17u4+15u3+u2−u+1=u6+u−1u5−17u4+15u3+u2−u+1
将分子 u7−u6+u5−17u4+15u3+u2−u+1 与除数 u−1
的首项系数相除：uu7=u6
商=u6将 u−1 乘以 u6:u7−u6将 u7−u6+u5−17u4+15u3+u2−u+1 减去 u7−u6 得到新的余数余数=u5−17u4+15u3+u2−u+1
因此u−1u7−u6+u5−17u4+15u3+u2−u+1=u6+u−1u5−17u4+15u3+u2−u+1
=u6+u−1u5−17u4+15u3+u2−u+1
对 u−1u5−17u4+15u3+u2−u+1做除法:u−1u5−17u4+15u3+u2−u+1=u4+u−1−16u4+15u3+u2−u+1
将分子 u5−17u4+15u3+u2−u+1 与除数 u−1
的首项系数相除：uu5=u4
商=u4将 u−1 乘以 u4:u5−u4将 u5−17u4+15u3+u2−u+1 减去 u5−u4 得到新的余数余数=−16u4+15u3+u2−u+1
因此u−1u5−17u4+15u3+u2−u+1=u4+u−1−16u4+15u3+u2−u+1
=u6+u4+u−1−16u4+15u3+u2−u+1
对 u−1−16u4+15u3+u2−u+1做除法:u−1−16u4+15u3+u2−u+1=−16u3+u−1−u3+u2−u+1
将分子 −16u4+15u3+u2−u+1 与除数 u−1
的首项系数相除：u−16u4=−16u3
商=−16u3将 u−1 乘以 −16u3:−16u4+16u3将 −16u4+15u3+u2−u+1 减去 −16u4+16u3 得到新的余数余数=−u3+u2−u+1
因此u−1−16u4+15u3+u2−u+1=−16u3+u−1−u3+u2−u+1
=u6+u4−16u3+u−1−u3+u2−u+1
对 u−1−u3+u2−u+1做除法:u−1−u3+u2−u+1=−u2+u−1−u+1
将分子 −u3+u2−u+1 与除数 u−1
的首项系数相除：u−u3=−u2
商=−u2将 u−1 乘以 −u2:−u3+u2将 −u3+u2−u+1 减去 −u3+u2 得到新的余数余数=−u+1
因此u−1−u3+u2−u+1=−u2+u−1−u+1
=u6+u4−16u3−u2+u−1−u+1
对 u−1−u+1做除法:u−1−u+1=−1
将分子 −u+1 与除数 u−1
的首项系数相除：u−u=−1
商=−1将 u−1 乘以 −1:−u+1将 −u+1 减去 −u+1 得到新的余数余数=0
因此u−1−u+1=−1
=u6+u4−16u3−u2−1
=u6+u4−16u3−u2−1
=(u−1)(u6+u4−16u3−u2−1)
=(u+1)(u−1)(u6+u4−16u3−u2−1)
(u+1)(u−1)(u6+u4−16u3−u2−1)=0
使用零因数法则： If ab=0then a=0or b=0u+1=0oru−1=0oru6+u4−16u3−u2−1=0
解 u+1=0:u=−1
u+1=0
将 1到右边
u+1=0
两边减去 1u+1−1=0−1
化简u=−1
u=−1
解 u−1=0:u=1
u−1=0
将 1到右边
u−1=0
两边加上 1u−1+1=0+1
化简u=1
u=1
解 u6+u4−16u3−u2−1=0:u≈−0.41421…,u≈2.41421…
u6+u4−16u3−u2−1=0
使用牛顿-拉弗森方法找到 u6+u4−16u3−u2−1=0 的一个解:u≈−0.41421…
u6+u4−16u3−u2−1=0
牛顿-拉弗森近似法定义
f(u)=u6+u4−16u3−u2−1
找到 f′(u):6u5+4u3−48u2−2u
dud(u6+u4−16u3−u2−1)
使用微分加减法定则: (f±g)′=f′±g′=dud(u6)+dud(u4)−dud(16u3)−dud(u2)−dud(1)
dud(u6)=6u5
dud(u6)
使用幂法则: dxd(xa)=a⋅xa−1=6u6−1
化简=6u5
dud(u4)=4u3
dud(u4)
使用幂法则: dxd(xa)=a⋅xa−1=4u4−1
化简=4u3
dud(16u3)=48u2
dud(16u3)
将常数提出: (a⋅f)′=a⋅f′=16dud(u3)
使用幂法则: dxd(xa)=a⋅xa−1=16⋅3u3−1
化简=48u2
dud(u2)=2u
dud(u2)
使用幂法则: dxd(xa)=a⋅xa−1=2u2−1
化简=2u
dud(1)=0
dud(1)
常数微分: dxd(a)=0=0
=6u5+4u3−48u2−2u−0
化简=6u5+4u3−48u2−2u
令 u0=1计算 un+1 至 Δun+1<0.000001
u1=0.6:Δu1=0.4
f(u0)=16+14−16⋅13−12−1=−16f′(u0)=6⋅15+4⋅13−48⋅12−2⋅1=−40u1=0.6
Δu1=∣0.6−1∣=0.4Δu1=0.4
u2=0.32945…:Δu2=0.27054…
f(u1)=0.66+0.64−16⋅0.63−0.62−1=−4.639744f′(u1)=6⋅0.65+4⋅0.63−48⋅0.62−2⋅0.6=−17.14944u2=0.32945…
Δu2=∣0.32945…−0.6∣=0.27054…Δu2=0.27054…
u3=0.03701…:Δu3=0.29243…
f(u2)=0.32945…6+0.32945…4−16⋅0.32945…3−0.32945…2−1=−1.66761…f′(u2)=6⋅0.32945…5+4⋅0.32945…3−48⋅0.32945…2−2⋅0.32945…=−5.70244…u3=0.03701…
Δu3=∣0.03701…−0.32945…∣=0.29243…Δu3=0.29243…
u4=−7.14264…:Δu4=7.17966…
f(u3)=0.03701…6+0.03701…4−16⋅0.03701…3−0.03701…2−1=−1.00217…f′(u3)=6⋅0.03701…5+4⋅0.03701…3−48⋅0.03701…2−2⋅0.03701…=−0.13958…u4=−7.14264…
Δu4=∣−7.14264…−0.03701…∣=7.17966…Δu4=7.17966…
u5=−5.91974…:Δu5=1.22290…
f(u4)=(−7.14264…)6+(−7.14264…)4−16(−7.14264…)3−(−7.14264…)2−1=141168.16963…f′(u4)=6(−7.14264…)5+4(−7.14264…)3−48(−7.14264…)2−2(−7.14264…)=−115436.50403…u5=−5.91974…
Δu5=∣−5.91974…−(−7.14264…)∣=1.22290…Δu5=1.22290…
u6=−4.88878…:Δu6=1.03095…
f(u5)=(−5.91974…)6+(−5.91974…)4−16(−5.91974…)3−(−5.91974…)2−1=47545.59081…f′(u5)=6(−5.91974…)5+4(−5.91974…)3−48(−5.91974…)2−2(−5.91974…)=−46117.92631…u6=−4.88878…
Δu6=∣−4.88878…−(−5.91974…)∣=1.03095…Δu6=1.03095…
u7=−4.01362…:Δu7=0.87515…
f(u6)=(−4.88878…)6+(−4.88878…)4−16(−4.88878…)3−(−4.88878…)2−1=16068.08422…f′(u6)=6(−4.88878…)5+4(−4.88878…)3−48(−4.88878…)2−2(−4.88878…)=−18360.23113…u7=−4.01362…
Δu7=∣−4.01362…−(−4.88878…)∣=0.87515…Δu7=0.87515…
u8=−3.26329…:Δu8=0.75033…
f(u7)=(−4.01362…)6+(−4.01362…)4−16(−4.01362…)3−(−4.01362…)2−1=5457.33921…f′(u7)=6(−4.01362…)5+4(−4.01362…)3−48(−4.01362…)2−2(−4.01362…)=−7273.21083…u8=−3.26329…
Δu8=∣−3.26329…−(−4.01362…)∣=0.75033…Δu8=0.75033…
u9=−2.61197…:Δu9=0.65132…
f(u8)=(−3.26329…)6+(−3.26329…)4−16(−3.26329…)3−(−3.26329…)2−1=1865.40737…f′(u8)=6(−3.26329…)5+4(−3.26329…)3−48(−3.26329…)2−2(−3.26329…)=−2864.03467…u9=−2.61197…
Δu9=∣−2.61197…−(−3.26329…)∣=0.65132…Δu9=0.65132…
u10=−2.04081…:Δu10=0.57115…
f(u9)=(−2.61197…)6+(−2.61197…)4−16(−2.61197…)3−(−2.61197…)2−1=641.38974…f′(u9)=6(−2.61197…)5+4(−2.61197…)3−48(−2.61197…)2−2(−2.61197…)=−1122.97668…u10=−2.04081…
Δu10=∣−2.04081…−(−2.61197…)∣=0.57115…Δu10=0.57115…
u11=−1.54238…:Δu11=0.49843…
f(u10)=(−2.04081…)6+(−2.04081…)4−16(−2.04081…)3−(−2.04081…)2−1=220.42864…f′(u10)=6(−2.04081…)5+4(−2.04081…)3−48(−2.04081…)2−2(−2.04081…)=−442.24518…u11=−1.54238…
Δu11=∣−1.54238…−(−2.04081…)∣=0.49843…Δu11=0.49843…
u12=−1.12448…:Δu12=0.41790…
f(u11)=(−1.54238…)6+(−1.54238…)4−16(−1.54238…)3−(−1.54238…)2−1=74.45277…f′(u11)=6(−1.54238…)5+4(−1.54238…)3−48(−1.54238…)2−2(−1.54238…)=−178.15724…u12=−1.12448…
Δu12=∣−1.12448…−(−1.54238…)∣=0.41790…Δu12=0.41790…
u13=−0.80272…:Δu13=0.32175…
f(u12)=(−1.12448…)6+(−1.12448…)4−16(−1.12448…)3−(−1.12448…)2−1=24.10604…f′(u12)=6(−1.12448…)5+4(−1.12448…)3−48(−1.12448…)2−2(−1.12448…)=−74.92024…u13=−0.80272…
Δu13=∣−0.80272…−(−1.12448…)∣=0.32175…Δu13=0.32175…
u14=−0.58368…:Δu14=0.21904…
f(u13)=(−0.80272…)6+(−0.80272…)4−16(−0.80272…)3−(−0.80272…)2−1=7.31448…f′(u13)=6(−0.80272…)5+4(−0.80272…)3−48(−0.80272…)2−2(−0.80272…)=−33.39326…u14=−0.58368…
Δu14=∣−0.58368…−(−0.80272…)∣=0.21904…Δu14=0.21904…
u15=−0.46184…:Δu15=0.12183…
f(u14)=(−0.58368…)6+(−0.58368…)4−16(−0.58368…)3−(−0.58368…)2−1=1.99663…f′(u14)=6(−0.58368…)5+4(−0.58368…)3−48(−0.58368…)2−2(−0.58368…)=−16.38770…u15=−0.46184…
Δu15=∣−0.46184…−(−0.58368…)∣=0.12183…Δu15=0.12183…
u16=−0.41933…:Δu16=0.04251…
f(u15)=(−0.46184…)6+(−0.46184…)4−16(−0.46184…)3−(−0.46184…)2−1=0.41814…f′(u15)=6(−0.46184…)5+4(−0.46184…)3−48(−0.46184…)2−2(−0.46184…)=−9.83510…u16=−0.41933…
Δu16=∣−0.41933…−(−0.46184…)∣=0.04251…Δu16=0.04251…
u17=−0.41428…:Δu17=0.00505…
f(u16)=(−0.41933…)6+(−0.41933…)4−16(−0.41933…)3−(−0.41933…)2−1=0.04030…f′(u16)=6(−0.41933…)5+4(−0.41933…)3−48(−0.41933…)2−2(−0.41933…)=−7.97447…u17=−0.41428…
Δu17=∣−0.41428…−(−0.41933…)∣=0.00505…Δu17=0.00505…
u18=−0.41421…:Δu18=0.00006…
f(u17)=(−0.41428…)6+(−0.41428…)4−16(−0.41428…)3−(−0.41428…)2−1=0.00052…f′(u17)=6(−0.41428…)5+4(−0.41428…)3−48(−0.41428…)2−2(−0.41428…)=−7.76725…u18=−0.41421…
Δu18=∣−0.41421…−(−0.41428…)∣=0.00006…Δu18=0.00006…
u19=−0.41421…:Δu19=1.19705E−8
f(u18)=(−0.41421…)6+(−0.41421…)4−16(−0.41421…)3−(−0.41421…)2−1=9.29452E−8f′(u18)=6(−0.41421…)5+4(−0.41421…)3−48(−0.41421…)2−2(−0.41421…)=−7.76450…u19=−0.41421…
Δu19=∣−0.41421…−(−0.41421…)∣=1.19705E−8Δu19=1.19705E−8
u≈−0.41421…
使用长除法 Equation0:u+0.41421…u6+u4−16u3−u2−1=u5−0.41421…u4+1.17157…u3−16.48528…u2+5.82842…u−2.41421…
u5−0.41421…u4+1.17157…u3−16.48528…u2+5.82842…u−2.41421…≈0
使用牛顿-拉弗森方法找到 u5−0.41421…u4+1.17157…u3−16.48528…u2+5.82842…u−2.41421…=0 的一个解:u≈2.41421…
u5−0.41421…u4+1.17157…u3−16.48528…u2+5.82842…u−2.41421…=0
牛顿-拉弗森近似法定义
f(u)=u5−0.41421…u4+1.17157…u3−16.48528…u2+5.82842…u−2.41421…
找到 f′(u):5u4−1.65685…u3+3.51471…u2−32.97056…u+5.82842…
dud(u5−0.41421…u4+1.17157…u3−16.48528…u2+5.82842…u−2.41421…)
使用微分加减法定则: (f±g)′=f′±g′=dud(u5)−dud(0.41421…u4)+dud(1.17157…u3)−dud(16.48528…u2)+dud(5.82842…u)−dud(2.41421…)
dud(u5)=5u4
dud(u5)
使用幂法则: dxd(xa)=a⋅xa−1=5u5−1
化简=5u4
dud(0.41421…u4)=1.65685…u3
dud(0.41421…u4)
将常数提出: (a⋅f)′=a⋅f′=0.41421…dud(u4)
使用幂法则: dxd(xa)=a⋅xa−1=0.41421…⋅4u4−1
化简=1.65685…u3
dud(1.17157…u3)=3.51471…u2
dud(1.17157…u3)
将常数提出: (a⋅f)′=a⋅f′=1.17157…dud(u3)
使用幂法则: dxd(xa)=a⋅xa−1=1.17157…⋅3u3−1
化简=3.51471…u2
dud(16.48528…u2)=32.97056…u
dud(16.48528…u2)
将常数提出: (a⋅f)′=a⋅f′=16.48528…dud(u2)
使用幂法则: dxd(xa)=a⋅xa−1=16.48528…⋅2u2−1
化简=32.97056…u
dud(5.82842…u)=5.82842…
dud(5.82842…u)
将常数提出: (a⋅f)′=a⋅f′=5.82842…dudu
使用常见微分定则: dudu=1=5.82842…⋅1
化简=5.82842…
dud(2.41421…)=0
dud(2.41421…)
常数微分: dxd(a)=0=0
=5u4−1.65685…u3+3.51471…u2−32.97056…u+5.82842…−0
化简=5u4−1.65685…u3+3.51471…u2−32.97056…u+5.82842…
令 u0=0计算 un+1 至 Δun+1<0.000001
u1=0.41421…:Δu1=0.41421…
f(u0)=05−0.41421…⋅04+1.17157…⋅03−16.48528…⋅02+5.82842…⋅0−2.41421…=−2.41421…f′(u0)=5⋅04−1.65685…⋅03+3.51471…⋅02−32.97056…⋅0+5.82842…=5.82842…u1=0.41421…
Δu1=∣0.41421…−0∣=0.41421…Δu1=0.41421…
u2=0.03272…:Δu2=0.38148…
f(u1)=0.41421…5−0.41421…⋅0.41421…4+1.17157…⋅0.41421…3−16.48528…⋅0.41421…2+5.82842…⋅0.41421…−2.41421…=−2.74516…f′(u1)=5⋅0.41421…4−1.65685…⋅0.41421…3+3.51471…⋅0.41421…2−32.97056…⋅0.41421…+5.82842…=−7.19595…u2=0.03272…
Δu2=∣0.03272…−0.41421…∣=0.38148…Δu2=0.38148…
u3=0.50422…:Δu3=0.47149…
f(u2)=0.03272…5−0.41421…⋅0.03272…4+1.17157…⋅0.03272…3−16.48528…⋅0.03272…2+5.82842…⋅0.03272…−2.41421…=−2.24108…f′(u2)=5⋅0.03272…4−1.65685…⋅0.03272…3+3.51471…⋅0.03272…2−32.97056…⋅0.03272…+5.82842…=4.75313…u3=0.50422…
Δu3=∣0.50422…−0.03272…∣=0.47149…Δu3=0.47149…
u4=0.14569…:Δu4=0.35852…
f(u3)=0.50422…5−0.41421…⋅0.50422…4+1.17157…⋅0.50422…3−16.48528…⋅0.50422…2+5.82842…⋅0.50422…−2.41421…=−3.51061…f′(u3)=5⋅0.50422…4−1.65685…⋅0.50422…3+3.51471…⋅0.50422…2−32.97056…⋅0.50422…+5.82842…=−9.79171…u4=0.14569…
Δu4=∣0.14569…−0.50422…∣=0.35852…Δu4=0.35852…
u5=1.88887…:Δu5=1.74318…
f(u4)=0.14569…5−0.41421…⋅0.14569…4+1.17157…⋅0.14569…3−16.48528…⋅0.14569…2+5.82842…⋅0.14569…−2.41421…=−1.91147…f′(u4)=5⋅0.14569…4−1.65685…⋅0.14569…3+3.51471…⋅0.14569…2−32.97056…⋅0.14569…+5.82842…=1.09654…u5=1.88887…
Δu5=∣1.88887…−0.14569…∣=1.74318…Δu5=1.74318…
u6=4.63637…:Δu6=2.74749…
f(u5)=1.88887…5−0.41421…⋅1.88887…4+1.17157…⋅1.88887…3−16.48528…⋅1.88887…2+5.82842…⋅1.88887…−2.41421…=−23.55475…f′(u5)=5⋅1.88887…4−1.65685…⋅1.88887…3+3.51471…⋅1.88887…2−32.97056…⋅1.88887…+5.82842…=8.57317…u6=4.63637…
Δu6=∣4.63637…−1.88887…∣=2.74749…Δu6=2.74749…
u7=3.79830…:Δu7=0.83806…
f(u6)=4.63637…5−0.41421…⋅4.63637…4+1.17157…⋅4.63637…3−16.48528…⋅4.63637…2+5.82842…⋅4.63637…−2.41421…=1737.96023…f′(u6)=5⋅4.63637…4−1.65685…⋅4.63637…3+3.51471…⋅4.63637…2−32.97056…⋅4.63637…+5.82842…=2073.76688…u7=3.79830…
Δu7=∣3.79830…−4.63637…∣=0.83806…Δu7=0.83806…
u8=3.17364…:Δu8=0.62465…
f(u7)=3.79830…5−0.41421…⋅3.79830…4+1.17157…⋅3.79830…3−16.48528…⋅3.79830…2+5.82842…⋅3.79830…−2.41421…=550.45789…f′(u7)=5⋅3.79830…4−1.65685…⋅3.79830…3+3.51471…⋅3.79830…2−32.97056…⋅3.79830…+5.82842…=881.21646…u8=3.17364…
Δu8=∣3.17364…−3.79830…∣=0.62465…Δu8=0.62465…
u9=2.74529…:Δu9=0.42835…
f(u8)=3.17364…5−0.41421…⋅3.17364…4+1.17157…⋅3.17364…3−16.48528…⋅3.17364…2+5.82842…⋅3.17364…−2.41421…=167.42483…f′(u8)=5⋅3.17364…4−1.65685…⋅3.17364…3+3.51471…⋅3.17364…2−32.97056…⋅3.17364…+5.82842…=390.85896…u9=2.74529…
Δu9=∣2.74529…−3.17364…∣=0.42835…Δu9=0.42835…
u10=2.50516…:Δu10=0.24012…
f(u9)=2.74529…5−0.41421…⋅2.74529…4+1.17157…⋅2.74529…3−16.48528…⋅2.74529…2+5.82842…⋅2.74529…−2.41421…=45.99071…f′(u9)=5⋅2.74529…4−1.65685…⋅2.74529…3+3.51471…⋅2.74529…2−32.97056…⋅2.74529…+5.82842…=191.52771…u10=2.50516…
Δu10=∣2.50516…−2.74529…∣=0.24012…Δu10=0.24012…
u11=2.42337…:Δu11=0.08179…
f(u10)=2.50516…5−0.41421…⋅2.50516…4+1.17157…⋅2.50516…3−16.48528…⋅2.50516…2+5.82842…⋅2.50516…−2.41421…=9.50260…f′(u10)=5⋅2.50516…4−1.65685…⋅2.50516…3+3.51471…⋅2.50516…2−32.97056…⋅2.50516…+5.82842…=116.17302…u11=2.42337…
Δu11=∣2.42337…−2.50516…∣=0.08179…Δu11=0.08179…
u12=2.41431…:Δu12=0.00905…
f(u11)=2.42337…5−0.41421…⋅2.42337…4+1.17157…⋅2.42337…3−16.48528…⋅2.42337…2+5.82842…⋅2.42337…−2.41421…=0.86400…f′(u11)=5⋅2.42337…4−1.65685…⋅2.42337…3+3.51471…⋅2.42337…2−32.97056…⋅2.42337…+5.82842…=95.43428…u12=2.41431…
Δu12=∣2.41431…−2.42337…∣=0.00905…Δu12=0.00905…
u13=2.41421…:Δu13=0.00010…
f(u12)=2.41431…5−0.41421…⋅2.41431…4+1.17157…⋅2.41431…3−16.48528…⋅2.41431…2+5.82842…⋅2.41431…−2.41421…=0.00977…f′(u12)=5⋅2.41431…4−1.65685…⋅2.41431…3+3.51471…⋅2.41431…2−32.97056…⋅2.41431…+5.82842…=93.27961…u13=2.41421…
Δu13=∣2.41421…−2.41431…∣=0.00010…Δu13=0.00010…
u14=2.41421…:Δu14=1.39211E−8
f(u13)=2.41421…5−0.41421…⋅2.41421…4+1.17157…⋅2.41421…3−16.48528…⋅2.41421…2+5.82842…⋅2.41421…−2.41421…=1.29821E−6f′(u13)=5⋅2.41421…4−1.65685…⋅2.41421…3+3.51471…⋅2.41421…2−32.97056…⋅2.41421…+5.82842…=93.25483…u14=2.41421…
Δu14=∣2.41421…−2.41421…∣=1.39211E−8Δu14=1.39211E−8
u≈2.41421…
使用长除法 Equation0:u−2.41421…u5−0.41421…u4+1.17157…u3−16.48528…u2+5.82842…u−2.41421…=u4+2u3+6u2−2u+1
u4+2u3+6u2−2u+1≈0
使用牛顿-拉弗森方法找到 u4+2u3+6u2−2u+1=0 的一个解:u∈R无解
u4+2u3+6u2−2u+1=0
牛顿-拉弗森近似法定义
f(u)=u4+2u3+6u2−2u+1
找到 f′(u):4u3+6u2+12u−2
dud(u4+2u3+6u2−2u+1)
使用微分加减法定则: (f±g)′=f′±g′=dud(u4)+dud(2u3)+dud(6u2)−dud(2u)+dud(1)
dud(u4)=4u3
dud(u4)
使用幂法则: dxd(xa)=a⋅xa−1=4u4−1
化简=4u3
dud(2u3)=6u2
dud(2u3)
将常数提出: (a⋅f)′=a⋅f′=2dud(u3)
使用幂法则: dxd(xa)=a⋅xa−1=2⋅3u3−1
化简=6u2
dud(6u2)=12u
dud(6u2)
将常数提出: (a⋅f)′=a⋅f′=6dud(u2)
使用幂法则: dxd(xa)=a⋅xa−1=6⋅2u2−1
化简=12u
dud(2u)=2
dud(2u)
将常数提出: (a⋅f)′=a⋅f′=2dudu
使用常见微分定则: dudu=1=2⋅1
化简=2
dud(1)=0
dud(1)
常数微分: dxd(a)=0=0
=4u3+6u2+12u−2+0
化简=4u3+6u2+12u−2
令 u0=1计算 un+1 至 Δun+1<0.000001
u1=0.6:Δu1=0.4
f(u0)=14+2⋅13+6⋅12−2⋅1+1=8f′(u0)=4⋅13+6⋅12+12⋅1−2=20u1=0.6
Δu1=∣0.6−1∣=0.4Δu1=0.4
u2=0.29338…:Δu2=0.30661…
f(u1)=0.64+2⋅0.63+6⋅0.62−2⋅0.6+1=2.5216f′(u1)=4⋅0.63+6⋅0.62+12⋅0.6−2=8.224u2=0.29338…
Δu2=∣0.29338…−0.6∣=0.30661…Δu2=0.30661…
u3=−0.16852…:Δu3=0.46190…
f(u2)=0.29338…4+2⋅0.29338…3+6⋅0.29338…2−2⋅0.29338…+1=0.98759…f′(u2)=4⋅0.29338…3+6⋅0.29338…2+12⋅0.29338…−2=2.13808…u3=−0.16852…
Δu3=∣−0.16852…−0.29338…∣=0.46190…Δu3=0.46190…
u4=0.21863…:Δu4=0.38715…
f(u3)=(−0.16852…)4+2(−0.16852…)3+6(−0.16852…)2−2(−0.16852…)+1=1.49867…f′(u3)=4(−0.16852…)3+6(−0.16852…)2+12(−0.16852…)−2=−3.87099…u4=0.21863…
Δu4=∣0.21863…−(−0.16852…)∣=0.38715…Δu4=0.38715…
u5=−0.69789…:Δu5=0.91652…
f(u4)=0.21863…4+2⋅0.21863…3+6⋅0.21863…2−2⋅0.21863…+1=0.87272…f′(u4)=4⋅0.21863…3+6⋅0.21863…2+12⋅0.21863…−2=0.95220…u5=−0.69789…
Δu5=∣−0.69789…−0.21863…∣=0.91652…Δu5=0.91652…
u6=−0.14461…:Δu6=0.55328…
f(u5)=(−0.69789…)4+2(−0.69789…)3+6(−0.69789…)2−2(−0.69789…)+1=4.87554…f′(u5)=4(−0.69789…)3+6(−0.69789…)2+12(−0.69789…)−2=−8.81206…u6=−0.14461…
Δu6=∣−0.14461…−(−0.69789…)∣=0.55328…Δu6=0.55328…
u7=0.24442…:Δu7=0.38903…
f(u6)=(−0.14461…)4+2(−0.14461…)3+6(−0.14461…)2−2(−0.14461…)+1=1.40910…f′(u6)=4(−0.14461…)3+6(−0.14461…)2+12(−0.14461…)−2=−3.62201…u7=0.24442…
Δu7=∣0.24442…−(−0.14461…)∣=0.38903…Δu7=0.38903…
u8=−0.42403…:Δu8=0.66846…
f(u7)=0.24442…4+2⋅0.24442…3+6⋅0.24442…2−2⋅0.24442…+1=0.90238…f′(u7)=4⋅0.24442…3+6⋅0.24442…2+12⋅0.24442…−2=1.34994…u8=−0.42403…
Δu8=∣−0.42403…−0.24442…∣=0.66846…Δu8=0.66846…
u9=0.02045…:Δu9=0.44448…
f(u8)=(−0.42403…)4+2(−0.42403…)3+6(−0.42403…)2−2(−0.42403…)+1=2.80677…f′(u8)=4(−0.42403…)3+6(−0.42403…)2+12(−0.42403…)−2=−6.31459…u9=0.02045…
Δu9=∣0.02045…−(−0.42403…)∣=0.44448…Δu9=0.44448…
u10=0.56930…:Δu10=0.54885…
f(u9)=0.02045…4+2⋅0.02045…3+6⋅0.02045…2−2⋅0.02045…+1=0.96162…f′(u9)=4⋅0.02045…3+6⋅0.02045…2+12⋅0.02045…−2=−1.75205…u10=0.56930…
Δu10=∣0.56930…−0.02045…∣=0.54885…Δu10=0.54885…
无法得出解
解为u≈−0.41421…,u≈2.41421…
解为u=−1,u=1,u≈−0.41421…,u≈2.41421…
u=−1,u=1,u≈−0.41421…,u≈2.41421…
验证解
找到无定义的点（奇点）:u=0
取 u4+u−4 的分母，令其等于零
解 u4=0:u=0
u4=0
使用法则 xn=0⇒x=0
u=0
取 16(u−u−1)+2 的分母，令其等于零
u=0
以下点无定义u=0
将不在定义域的点与解相综合:
u=−1,u=1,u≈−0.41421…,u≈2.41421…
u=−1,u=1,u≈−0.41421…,u≈2.41421…
代回 u=ex，求解 x
解 ex=−1:x∈R无解
ex=−1
af(x) 对于 x不能为零或负值∈Rx∈R无解
解 ex=1:x=0
ex=1
使用指数运算法则
ex=1
若 f(x)=g(x)，则 ln(f(x))=ln(g(x))ln(ex)=ln(1)
使用对数计算法则: ln(ea)=aln(ex)=xx=ln(1)
化简 ln(1):0
ln(1)
使用对数计算法则: loga(1)=0=0
x=0
x=0
解 ex=−0.41421…:x∈R无解
ex=−0.41421…
af(x) 对于 x不能为零或负值∈Rx∈R无解
解 ex=2.41421…:x=ln(2.41421…)
ex=2.41421…
使用指数运算法则
ex=2.41421…
若 f(x)=g(x)，则 ln(f(x))=ln(g(x))ln(ex)=ln(2.41421…)
使用对数计算法则: ln(ea)=aln(ex)=xx=ln(2.41421…)
x=ln(2.41421…)
x=0,x=ln(2.41421…)
x=0,x=ln(2.41421…)