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受欢迎的三角函数 >

3cos^2(θ)+6cos(θ)-4=0

解答

3 cos^{2} (θ) + 6 cos (θ) - 4 = 0

解答

θ = 1.01511 \dots + 2 πn, θ = 2 π - 1.01511 \dots + 2 πn

+1

度数

θ = 58.16160 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 301.83839 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

求解步骤

3 cos^{2} (θ) + 6 cos (θ) - 4 = 0

用替代法求解

3 cos^{2} (θ) + 6 cos (θ) - 4 = 0

令

: cos (θ) = u

3 u^{2} + 6 u - 4 = 0

3 u^{2} + 6 u - 4 = 0 : u = \frac{- 3 + 21}{3}, u = - \frac{3 + 21}{3}

3 u^{2} + 6 u - 4 = 0

使用求根公式求解

3 u^{2} + 6 u - 4 = 0

二次方程求根公式:

若

a = 3, b = 6, c = - 4

u_{1, 2} = \frac{- 6 \pm 6 ^{2} - 4 \cdot 3 ( - 4 )}{2 \cdot 3}

u_{1, 2} = \frac{- 6 \pm 6 ^{2} - 4 \cdot 3 ( - 4 )}{2 \cdot 3}

6^{2} - 4 \cdot 3 (- 4) = 221

6^{2} - 4 \cdot 3 (- 4)

使用法则

- (- a) = a

= 6^{2} + 4 \cdot 3 \cdot 4

数字相乘:

4 \cdot 3 \cdot 4 = 48

= 6^{2} + 48

6^{2} = 36

= 36 + 48

数字相加:

36 + 48 = 84

= 84

84

质因数分解:

2^{2} \cdot 3 \cdot 7

84

84

除以

284 = 42 \cdot 2

= 2 \cdot 42

42

除以

242 = 21 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 21

21

除以

321 = 7 \cdot 3

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7

2, 3, 7

都是质数，因此无法进一步因数分解

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7

= 2^{2} \cdot 3 \cdot 7

= 2^{2} \cdot 3 \cdot 7

使用根式运算法则:

n ab = n a n b

= 2^{2} 3 \cdot 7

使用根式运算法则:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2 3 \cdot 7

整理后得

= 221

u_{1, 2} = \frac{- 6 \pm 2 21}{2 \cdot 3}

将解分隔开

u_{1} = \frac{- 6 + 2 21}{2 \cdot 3}, u_{2} = \frac{- 6 - 2 21}{2 \cdot 3}

u = \frac{- 6 + 2 21}{2 \cdot 3} : \frac{- 3 + 21}{3}

\frac{- 6 + 2 21}{2 \cdot 3}

数字相乘:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{- 6 + 2 21}{6}

分解

- 6 + 221 : 2 (- 3 + 21)

- 6 + 221

改写为

= - 2 \cdot 3 + 221

因式分解出通项

2

= 2 (- 3 + 21)

= \frac{2 ( - 3 + 21 )}{6}

约分:

2

= \frac{- 3 + 21}{3}

u = \frac{- 6 - 2 21}{2 \cdot 3} : - \frac{3 + 21}{3}

\frac{- 6 - 2 21}{2 \cdot 3}

数字相乘:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{- 6 - 2 21}{6}

分解

- 6 - 221 : - 2 (3 + 21)

- 6 - 221

改写为

= - 2 \cdot 3 - 221

因式分解出通项

2

= - 2 (3 + 21)

= - \frac{2 ( 3 + 21 )}{6}

约分:

2

= - \frac{3 + 21}{3}

二次方程组的解是:

u = \frac{- 3 + 21}{3}, u = - \frac{3 + 21}{3}

u = cos (θ)

代回

cos (θ) = \frac{- 3 + 21}{3}, cos (θ) = - \frac{3 + 21}{3}

cos (θ) = \frac{- 3 + 21}{3}, cos (θ) = - \frac{3 + 21}{3}

cos (θ) = \frac{- 3 + 21}{3} : θ = arccos (\frac{- 3 + 21}{3}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{- 3 + 21}{3}) + 2 πn

cos (θ) = \frac{- 3 + 21}{3}

使用反三角函数性质

cos (θ) = \frac{- 3 + 21}{3}

cos (θ) = \frac{- 3 + 21}{3}

的通解

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

θ = arccos (\frac{- 3 + 21}{3}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{- 3 + 21}{3}) + 2 πn

θ = arccos (\frac{- 3 + 21}{3}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{- 3 + 21}{3}) + 2 πn

cos (θ) = - \frac{3 + 21}{3} :

无解

cos (θ) = - \frac{3 + 21}{3}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

无解

合并所有解

θ = arccos (\frac{- 3 + 21}{3}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{- 3 + 21}{3}) + 2 πn

以小数形式表示解

θ = 1.01511 \dots + 2 πn, θ = 2 π - 1.01511 \dots + 2 πn

作图

流行的例子

arccos (x) = 1

cos(x)=sqrt(3/4)

cos (x) = \frac{3}{4}

sin(x)=sin(x/2)

sin (x) = sin (\frac{x}{2})

sec(x)-2=-tan(x)-3

sec (x) - 2 = - tan (x) - 3

-9.81+5(32.17)(12/2)sin(θ)=0

- 9.81 + 5 (32.17) (\frac{12}{2}) sin (θ) = 0