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Beliebt Trigonometrie >

3tan^2(x)-sec(x)-1=0

Lösung

3 tan^{2} (x) - sec (x) - 1 = 0

Lösung

x = 0.72273 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.72273 \dots + 2 πn, x = π + 2 πn

Grad

x = 41.40962 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 318.59037 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

3 tan^{2} (x) - sec (x) - 1 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 1 - sec (x) + 3 tan^{2} (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

tan^{2} (x) + 1 = sec^{2} (x)

tan^{2} (x) = sec^{2} (x) - 1

= - 1 - sec (x) + 3 (sec^{2} (x) - 1)

Vereinfache

- 1 - sec (x) + 3 (sec^{2} (x) - 1) : 3 sec^{2} (x) - sec (x) - 4

- 1 - sec (x) + 3 (sec^{2} (x) - 1)

Multipliziere aus

3 (sec^{2} (x) - 1) : 3 sec^{2} (x) - 3

3 (sec^{2} (x) - 1)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 3, b = sec^{2} (x), c = 1

= 3 sec^{2} (x) - 3 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

3 \cdot 1 = 3

= 3 sec^{2} (x) - 3

= - 1 - sec (x) + 3 sec^{2} (x) - 3

Vereinfache

- 1 - sec (x) + 3 sec^{2} (x) - 3 : 3 sec^{2} (x) - sec (x) - 4

- 1 - sec (x) + 3 sec^{2} (x) - 3

Fasse gleiche Terme zusammen

= - sec (x) + 3 sec^{2} (x) - 1 - 3

Subtrahiere die Zahlen:

- 1 - 3 = - 4

= 3 sec^{2} (x) - sec (x) - 4

= 3 sec^{2} (x) - sec (x) - 4

= 3 sec^{2} (x) - sec (x) - 4

- 4 - sec (x) + 3 sec^{2} (x) = 0

Löse mit Substitution

- 4 - sec (x) + 3 sec^{2} (x) = 0

Angenommen:

sec (x) = u

- 4 - u + 3 u^{2} = 0

- 4 - u + 3 u^{2} = 0 : u = \frac{4}{3}, u = - 1

- 4 - u + 3 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

3 u^{2} - u - 4 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

3 u^{2} - u - 4 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 3, b = - 1, c = - 4

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 3 ( - 4 )}{2 \cdot 3}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 3 ( - 4 )}{2 \cdot 3}

(- 1)^{2} - 4 \cdot 3 (- 4) = 7

(- 1)^{2} - 4 \cdot 3 (- 4)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 1)^{2} + 4 \cdot 3 \cdot 4

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Wende Regel an

1^{a} = 1

= 1

4 \cdot 3 \cdot 4 = 48

4 \cdot 3 \cdot 4

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 3 \cdot 4 = 48

= 48

= 1 + 48

Addiere die Zahlen:

1 + 48 = 49

= 49

Faktorisiere die Zahl:

49 = 7^{2}

= 7^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

7^{2} = 7

= 7

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm 7}{2 \cdot 3}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 1 ) + 7}{2 \cdot 3}, u_{2} = \frac{- ( - 1 ) - 7}{2 \cdot 3}

u = \frac{- ( - 1 ) + 7}{2 \cdot 3} : \frac{4}{3}

\frac{- ( - 1 ) + 7}{2 \cdot 3}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{1 + 7}{2 \cdot 3}

Addiere die Zahlen:

1 + 7 = 8

= \frac{8}{2 \cdot 3}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{8}{6}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{4}{3}

u = \frac{- ( - 1 ) - 7}{2 \cdot 3} : - 1

\frac{- ( - 1 ) - 7}{2 \cdot 3}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{1 - 7}{2 \cdot 3}

Subtrahiere die Zahlen:

1 - 7 = - 6

= \frac{- 6}{2 \cdot 3}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{- 6}{6}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{6}{6}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= - 1

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{4}{3}, u = - 1

Setze in

u = sec (x)

ein

sec (x) = \frac{4}{3}, sec (x) = - 1

sec (x) = \frac{4}{3}, sec (x) = - 1

sec (x) = \frac{4}{3} : x = arcsec (\frac{4}{3}) + 2 πn, x = 2 π - arcsec (\frac{4}{3}) + 2 πn

sec (x) = \frac{4}{3}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sec (x) = \frac{4}{3}

Allgemeine Lösung für

sec (x) = \frac{4}{3}

sec (x) = a \Rightarrow x = arcsec (a) + 2 πn, x = 2 π - arcsec (a) + 2 πn

x = arcsec (\frac{4}{3}) + 2 πn, x = 2 π - arcsec (\frac{4}{3}) + 2 πn

x = arcsec (\frac{4}{3}) + 2 πn, x = 2 π - arcsec (\frac{4}{3}) + 2 πn

sec (x) = - 1 : x = π + 2 πn

sec (x) = - 1

Allgemeine Lösung für

sec (x) = - 1

sec (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sec (x) 1 \frac{2 3}{3} 22 Undefined - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sec (x) - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2 Undefined 22 \frac{2 3}{3}

x = π + 2 πn

x = π + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arcsec (\frac{4}{3}) + 2 πn, x = 2 π - arcsec (\frac{4}{3}) + 2 πn, x = π + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 0.72273 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.72273 \dots + 2 πn, x = π + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

-2sin(x)+2sin(2x)=0

- 2 sin (x) + 2 sin (2 x) = 0

8cos^2(x)sin(x)+4cos^2(x)=0

8 cos^{2} (x) sin (x) + 4 cos^{2} (x) = 0

-6sin(6x)=0

- 6 sin (6 x) = 0

tan(x)= 7/6

tan (x) = \frac{7}{6}

-3arcsin(2x)=pi

- 3 arcsin (2 x) = π