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Beliebt Trigonometrie >

2sin(x)+cos(x)=1

Lösung

2 sin (x) + cos (x) = 1

Lösung

x = 2.21429 \dots + 2 πn, x = 2 πn

Grad

x = 126.86989 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

2 sin (x) + cos (x) = 1

Subtrahiere

cos (x)

von beiden Seiten

2 sin (x) = 1 - cos (x)

Quadriere beide Seiten

(2 sin (x))^{2} = (1 - cos (x))^{2}

Subtrahiere

(1 - cos (x))^{2}

von beiden Seiten

4 sin^{2} (x) - 1 + 2 cos (x) - cos^{2} (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 1 - cos^{2} (x) + 2 cos (x) + 4 sin^{2} (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 1 - cos^{2} (x) + 2 cos (x) + 4 (1 - cos^{2} (x))

Vereinfache

- 1 - cos^{2} (x) + 2 cos (x) + 4 (1 - cos^{2} (x)) : 2 cos (x) - 5 cos^{2} (x) + 3

- 1 - cos^{2} (x) + 2 cos (x) + 4 (1 - cos^{2} (x))

Multipliziere aus

4 (1 - cos^{2} (x)) : 4 - 4 cos^{2} (x)

4 (1 - cos^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 4, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 4 \cdot 1 - 4 cos^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 = 4

= 4 - 4 cos^{2} (x)

= - 1 - cos^{2} (x) + 2 cos (x) + 4 - 4 cos^{2} (x)

Vereinfache

- 1 - cos^{2} (x) + 2 cos (x) + 4 - 4 cos^{2} (x) : 2 cos (x) - 5 cos^{2} (x) + 3

- 1 - cos^{2} (x) + 2 cos (x) + 4 - 4 cos^{2} (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - cos^{2} (x) + 2 cos (x) - 4 cos^{2} (x) - 1 + 4

Addiere gleiche Elemente:

- cos^{2} (x) - 4 cos^{2} (x) = - 5 cos^{2} (x)

= - 5 cos^{2} (x) + 2 cos (x) - 1 + 4

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 1 + 4 = 3

= 2 cos (x) - 5 cos^{2} (x) + 3

= 2 cos (x) - 5 cos^{2} (x) + 3

= 2 cos (x) - 5 cos^{2} (x) + 3

3 + 2 cos (x) - 5 cos^{2} (x) = 0

Löse mit Substitution

3 + 2 cos (x) - 5 cos^{2} (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

3 + 2 u - 5 u^{2} = 0

3 + 2 u - 5 u^{2} = 0 : u = - \frac{3}{5}, u = 1

3 + 2 u - 5 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 5 u^{2} + 2 u + 3 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 5 u^{2} + 2 u + 3 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 5, b = 2, c = 3

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 ( - 5 ) \cdot 3}{2 ( - 5 )}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 ( - 5 ) \cdot 3}{2 ( - 5 )}

2^{2} - 4 (- 5) \cdot 3 = 8

2^{2} - 4 (- 5) \cdot 3

Wende Regel an

- (- a) = a

= 2^{2} + 4 \cdot 5 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 5 \cdot 3 = 60

= 2^{2} + 60

2^{2} = 4

= 4 + 60

Addiere die Zahlen:

4 + 60 = 64

= 64

Faktorisiere die Zahl:

64 = 8^{2}

= 8^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

8^{2} = 8

= 8

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 8}{2 ( - 5 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 2 + 8}{2 ( - 5 )}, u_{2} = \frac{- 2 - 8}{2 ( - 5 )}

u = \frac{- 2 + 8}{2 ( - 5 )} : - \frac{3}{5}

\frac{- 2 + 8}{2 ( - 5 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 2 + 8}{- 2 \cdot 5}

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 2 + 8 = 6

= \frac{6}{- 2 \cdot 5}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 5 = 10

= \frac{6}{- 10}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{6}{10}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= - \frac{3}{5}

u = \frac{- 2 - 8}{2 ( - 5 )} : 1

\frac{- 2 - 8}{2 ( - 5 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 2 - 8}{- 2 \cdot 5}

Subtrahiere die Zahlen:

- 2 - 8 = - 10

= \frac{- 10}{- 2 \cdot 5}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 5 = 10

= \frac{- 10}{- 10}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{10}{10}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= 1

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{3}{5}, u = 1

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = - \frac{3}{5}, cos (x) = 1

cos (x) = - \frac{3}{5}, cos (x) = 1

cos (x) = - \frac{3}{5} : x = arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{3}{5}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = - \frac{3}{5}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = - \frac{3}{5}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn

cos (x) = 1 : x = 2 πn

cos (x) = 1

Allgemeine Lösung für

cos (x) = 1

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = 0 + 2 πn

x = 0 + 2 πn

Löse

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn, x = 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

2 sin (x) + cos (x) = 1

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn :

Wahr

arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arccos (- \frac{3}{5}) + 2 π 1

Setze

x = arccos (- \frac{3}{5}) + 2 π 1

2 sin (x) + cos (x) = 1

ein, um zu lösen

2 sin (arccos (- \frac{3}{5}) + 2 π 1) + cos (arccos (- \frac{3}{5}) + 2 π 1) = 1

Fasse zusammen

1 = 1

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

- arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn :

Falsch

- arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

- arccos (- \frac{3}{5}) + 2 π 1

Setze

x = - arccos (- \frac{3}{5}) + 2 π 1

2 sin (x) + cos (x) = 1

ein, um zu lösen

2 sin (- arccos (- \frac{3}{5}) + 2 π 1) + cos (- arccos (- \frac{3}{5}) + 2 π 1) = 1

Fasse zusammen

- 2.2 = 1

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

2 πn :

Wahr

2 πn

Setze ein

n = 1

2 π 1

Setze

x = 2 π 1

2 sin (x) + cos (x) = 1

ein, um zu lösen

2 sin (2 π 1) + cos (2 π 1) = 1

Fasse zusammen

1 = 1

\Rightarrow Wahr

x = arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn, x = 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 2.21429 \dots + 2 πn, x = 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

sin(θ)cos(θ)=-1/2

sin (θ) cos (θ) = - \frac{1}{2}

2cos^2(x)-3cos(2x)=0

2 cos^{2} (x) - 3 cos (2 x) = 0

16cos^2(x)=4

16 cos^{2} (x) = 4

3sin(2x-1)-1=0

3 sin (2 x - 1) - 1 = 0

cos(x)=((sqrt(3))/2)

cos (x) = (\frac{3}{2})